
- •4.1. Необхідна умова існування екстремуму функції двох змінних.
- •4.2. Достатня умова існування екстремуму функції двох змінних
- •4.3. Приклади та задачі для самостійної роботи.
- •4.4 Умовні екстремуми функції двох змінних
- •4.5. Приклади для самостійної роботи.
- •4.6. Знаходження найбільшого та найменшого значень функції двох змінних
- •4.7 Приклади та задачі для самостійної роботи.
- •Бібліографічний список
- •Глава 1. Матриці та дії над ними……................................................................. 4
- •Глава 2. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь ................................................. 33
- •Глава 3. Екстремуми функції однієї змінної ............................................................ 56
- •4.1. Необхідна умова існування екстремуму функції двох змінних .............. 76
4.3. Приклади та задачі для самостійної роботи.
Знайти екстремуми функцій двох змінних:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
,
якщо
,
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
,
якщо
,
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
,
;
15)
,
;
16)
,
;
17)
;
18)
;
19)
;
20)
;
21)
;
22)
;
23)
;
24)
;
25)
;
26)
;
27)
;
28)
;
29)
;
30)
.
4.4 Умовні екстремуми функції двох змінних
1.
При відшуканні найбільшого і найменшого
значень функції двох змінних часто
виникають задачі, зв'язані зі знаходженням
так званого умовного екстремуму. Це
завдання полягає в тім, щоб на лінії
,
що належить області визначення функції
,
знайти точку
,
у якій значення функції є найбільшим
чи найменшим в порівнянні зі значеннями
цієї функції в точках лінії
,
що знаходяться в деякому околі точки
.
Така
точка
називається
точкою
умовного екстремуму,
а значення функції
в ній
називається
умовним екстремумом.
Потрібно зазначити, що на відміну від звичайної точки екстремуму, значення функції порівнюється зі значеннями функції не в усіх точках деякого її околу, а тільки в тих, які належать лінії .
Зрозуміло також, що точка звичайного екстремуму функції є точкою умовного екстремуму для довільної лінії, що проходить через цю точку. Але зворотне твердження невірне: точка умовного екстремума не обов'язково є точкою звичайного екстремуму.
Наприклад,
функція
має
максимум, що дорівнює 1, в
початку координат, а на лінії
ця функція має умовний екстремум
(максимум) у точці
.
Графік функції зображений на рисунку 20.
Рис.20
2. Розглянемо методи знаходження умовних екстремумів диференційовної функції для різних способів задання рівняння лінії (так званого рівняння зв'язку), у точках якої відшукується умовний екстремум.
Спочатку
розглянемо той випадок, коли лінія
задається рівнянням
,
де
– диференційовна функція. У цьому
випадку підставимо в
замість
функцію
і одержимо функцію однієї змінної
.
Тим самим задача відшукування
умовних екстремумів
звелась до відшукування
екстремумів
функції однієї змінної. Знайшовши точки
екстремумів
функції
і визначивши потім значення
з рівняння лінії
,
одержимо точки
умовних екстремумів функції
.
Досить просто розв’язується також задача знаходження умовних екстремумів у випадку, коли лінія задана параметричними рівняннями:
,
де
і
- диференційовні функції. Підставивши
вирази для
та
у функцію
,
знову приходимо до задачі відшукування
екстремумів функції однієї змінної
. Визначивши точки екстремумів цієї
функції і підставивши їхнє значення у
функції
,
,
одержимо точки умовних екстремумів
функції
.
Більш
складною є задача знаходження умовних
екстремумів функції, коли рівняння
лінії задане в неявному виді
.
У цьому випадку для відшукування умовних
екстремумів застосовується метод
множників Лагранжа.
Теорема
8. Якщо
диференційовна функція
має умовний екстремум у точці
лінії
,
і
визначає неявну диференційовну функцію
,
що залежить від змінної
в околі точки
,
то існує таке число
,
що частинні похідні функції
в точці
дорівнюють нулю.
Доведення. Так як за умовою теореми рівняння зв'язку визначає неявну функцію від змінної , то функція є складеною функцією, що залежить від . Повна похідна від цієї функції по дорівнює:
,
де
похідна
знайдена
за правилом
диференціювання
неявної
функції.
У точках
умовних екстремумів похідна
дорівнює
нулю, отже
одержуємо одне рівняння,
що зв'язує
і
.
Перетворимо
це рівняння, поклавши в шуканій точці
умовного екстремуму
,
де
- деяке невідоме число;
маємо
(4.1)
Приєднавши
рівняння зв'язку
до цих двох рівнянь, одержимо систему
трьох рівнянь із трьома невідомими
.
Теорема доведена.
Висновок. Відзначимо, що доведена теорема дає тільки необхідну умову існування умовного екстремуму. При розв’язуванні системи рівнянь (4.1) разом з рівнянням зв'язку визначаються координати точок, підозрюваних на умовний екстремум. Дуже часто зміст задачі чи вид досліджуваної функції в кожній конкретній ситуації допомагає встановити, чи є критична точка, підозрювана на умовний екстремум, точкою умовного екстремуму.
Достатні
умови існування умовного екстремуму
зв'язані з дослідженням знака визначника
третього порядку, складеного з частинних
і змішаних похідних другого порядку
по змінних
функції
,
обчислених у точці
,
що знайдена з рівняння (4.1)
і рівняння зв'язку
.
Сформулюємо ці умови.
Теорема 9. Якщо визначник
додатний,
то у функції
існує в точці
умовний максимум, якщо
,
то існує
умовний мінімум.
Приклад
26.
Знайти умовний екстремум функції
на прямій
.
Розв’язування. Виразимо через з рівняння зв'язку і підставимо цей вираз у задану функцію; маємо
.
Далі
знаходимо похідну
і прирівнюємо її до
нуля:
.
Розв’язавши
одержане рівняння, знаходимо його
корінь:
.
Так
як
для
і
,
коли
,
то функція
має в точці
максимум. З цього випливає,
що у функції
існує в точці з координатами
,
умовний максимум на прямій
,
який дорівнює
.
Приклад
27.
Знайти умовний екстремум функції
на параболі
.
Розв’язування.
Спочатку з рівняння параболи знаходимо
.
Підставивши
цей
вираз для
у функцію
,
одержуємо функцію, що залежить від
однієї змінної
:
.
Потім знаходимо похідну і прирівнюємо до нуля:
.
Звідси
.
Досліджуємо ці точки на екстремуми:
якщо
,
то
,
якщо
,
то
,
і коли
,
.
Таким
чином, у функції
існує в точці
мінімум, а в точці
максимум. Отже, функція
в точці з координатами
,
має умовний мінімум, а в
точці
з координатами
,
– умовний максимум на параболі
.
При цьому
,
.
Приклад
28.
Знайти умовні екстремуми функції
на колі
Розв’язування.
Підставимо значення
,
у функцію
,
в результаті одержуємо функцію однієї
змінної. Наша задача звелася до
знаходження екстремумів функції
на інтервалі
.
Узявши похідну по
і прирівнявши її до нуля, знаходимо
«стаціонарні» точки функції
:
Досліджуємо
ці точки на екстремум: якщо
,
то
,
для
і коли
,
,
тобто функція
в точці
має максимум, а в точці
– мінімум. Тоді у функції
існує в точці з координатами
,
умовний максимум
,
а в точці з координатами
,
умовний мінімум
на колі
Приклад
29.
Знайти умовні екстремуми функції
на колі
.
Розв’язування. Складемо функцію
і відшукаємо її стаціонарні точки, прирівнявши нулю її перші частинні похідні:
(4.2)
До отриманих рівнянь приєднаємо ще рівняння зв'язку
(4.3)
і розв’яжемо їх сумісно.
Якщо
число
і
,
то з рівнянь (4.2)
випливає
,
що суперечить умові (4.3).
При
з другого рівняння (4.2)
випливає, що
,
а з рівняння (4.3)
знаходимо
;
при
знаходимо
,
.
Таким чином, точками умовного екстремуму
можуть бути точки
,
,
,
.
З виду функції
робимо висновок, що в точках
і
функція
має умовний максимум
,
а в точках
і
- умовний мінімум
.
Дійсно, рухаючись
по колу від
і
,
ми збільшуємо значення функції, а
рухаючись
від точок
і
по колу, зменшуємо значення функції.
Приклад
30.
Знайти умовний максимум функції
,
якщо змінні
додатні і задовольняють рівняння
.
Розв’язування. Складемо допоміжну функцію
.
Прирівнюючи частинні похідні до нуля, маємо
Виключаємо з цих рівнянь параметр і одержуємо
.
Розв’язуючи
це рівняння разом з рівнянням
і враховуючи те, що
,
знаходимо
.
Далі визначаємо значення параметра
у випадку, коли
,
і частинні та змішані похідні другого
порядку функції
:
,
.
Cкладаємо та обчислюємо визначник
=
(–1–1)+1
=1+1=2.
Так
як визначник додатний
(
=2), то відповідно до теореми 9,
у функції існує в точці
умовний максимум.