Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Вища мат3..doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
1.39 Mб
Скачать

4.3. Приклади та задачі для самостійної роботи.

Знайти екстремуми функцій двох змінних:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , якщо , ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) , якщо , ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) , ;

15) , ;

16) , ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

25) ;

26) ;

27) ;

28) ;

29) ;

30)

.

4.4 Умовні екстремуми функції двох змінних

1. При відшуканні найбільшого і найменшого значень функції двох змінних часто виникають задачі, зв'язані зі знаходженням так званого умовного екстремуму. Це завдання полягає в тім, щоб на лінії , що належить області визначення функції , знайти точку , у якій значення функції є найбільшим чи найменшим в порівнянні зі значеннями цієї функції в точках лінії , що знаходяться в деякому околі точки . Така точка називається точкою умовного екстремуму, а значення функції в ній називається умовним екстремумом.

Потрібно зазначити, що на відміну від звичайної точки екстремуму, значення функції порівнюється зі значеннями функції не в усіх точках деякого її околу, а тільки в тих, які належать лінії .

Зрозуміло також, що точка звичайного екстремуму функції є точкою умовного екстремуму для довільної лінії, що проходить через цю точку. Але зворотне твердження невірне: точка умовного екстремума не обов'язково є точкою звичайного екстремуму.

Наприклад, функція має максимум, що дорівнює 1, в початку координат, а на лінії ця функція має умовний екстремум (максимум) у точці .

Графік функції зображений на рисунку 20.

Рис.20

2. Розглянемо методи знаходження умовних екстремумів диференційовної функції для різних способів задання рівняння лінії (так званого рівняння зв'язку), у точках якої відшукується умовний екстремум.

Спочатку розглянемо той випадок, коли лінія задається рівнянням , де – диференційовна функція. У цьому випадку підставимо в замість функцію і одержимо функцію однієї змінної . Тим самим задача відшукування умовних екстремумів звелась до відшукування екстремумів функції однієї змінної. Знайшовши точки екстремумів функції і визначивши потім значення з рівняння лінії , одержимо точки умовних екстремумів функції .

Досить просто розв’язується також задача знаходження умовних екстремумів у випадку, коли лінія задана параметричними рівняннями:

,

де і - диференційовні функції. Підставивши вирази для та у функцію , знову приходимо до задачі відшукування екстремумів функції однієї змінної . Визначивши точки екстремумів цієї функції і підставивши їхнє значення у функції , , одержимо точки умовних екстремумів функції .

Більш складною є задача знаходження умовних екстремумів функції, коли рівняння лінії задане в неявному виді . У цьому випадку для відшукування умовних екстремумів застосовується метод множників Лагранжа.

Теорема 8. Якщо диференційовна функція має умовний екстремум у точці лінії , і визначає неявну диференційовну функцію , що залежить від змінної в околі точки , то існує таке число , що частинні похідні функції в точці дорівнюють нулю.

Доведення. Так як за умовою теореми рівняння зв'язку визначає неявну функцію від змінної , то функція є складеною функцією, що залежить від . Повна похідна від цієї функції по дорівнює:

,

де похідна знайдена за правилом диференціювання неявної функції. У точках умовних екстремумів похідна дорівнює нулю, отже одержуємо одне рівняння, що зв'язує і

.

Перетворимо це рівняння, поклавши в шуканій точці умовного екстремуму , де - деяке невідоме число;

маємо

(4.1)

Приєднавши рівняння зв'язку до цих двох рівнянь, одержимо систему трьох рівнянь із трьома невідомими . Теорема доведена.

Висновок. Відзначимо, що доведена теорема дає тільки необхідну умову існування умовного екстремуму. При розв’язуванні системи рівнянь (4.1) разом з рівнянням зв'язку визначаються координати точок, підозрюваних на умовний екстремум. Дуже часто зміст задачі чи вид досліджуваної функції в кожній конкретній ситуації допомагає встановити, чи є критична точка, підозрювана на умовний екстремум, точкою умовного екстремуму.

Достатні умови існування умовного екстремуму зв'язані з дослідженням знака визначника третього порядку, складеного з частинних і змішаних похідних другого порядку по змінних функції , обчислених у точці , що знайдена з рівняння (4.1) і рівняння зв'язку . Сформулюємо ці умови.

Теорема 9. Якщо визначник

додатний, то у функції існує в точці умовний максимум, якщо , то існує умовний мінімум.

Приклад 26. Знайти умовний екстремум функції на прямій .

Розв’язування. Виразимо через з рівняння зв'язку і підставимо цей вираз у задану функцію; маємо

.

Далі знаходимо похідну і прирівнюємо її до нуля:

.

Розв’язавши одержане рівняння, знаходимо його корінь: .

Так як для і , коли , то функція має в точці максимум. З цього випливає, що у функції існує в точці з координатами , умовний максимум на прямій , який дорівнює .

Приклад 27. Знайти умовний екстремум функції на параболі

.

Розв’язування. Спочатку з рівняння параболи знаходимо . Підставивши цей вираз для у функцію , одержуємо функцію, що залежить від однієї змінної :

.

Потім знаходимо похідну і прирівнюємо до нуля:

.

Звідси . Досліджуємо ці точки на екстремуми: якщо , то , якщо , то , і коли , .

Таким чином, у функції існує в точці мінімум, а в точці максимум. Отже, функція в точці з координатами , має умовний мінімум, а в точці з координатами , – умовний максимум на параболі . При цьому , .

Приклад 28. Знайти умовні екстремуми функції на колі

Розв’язування. Підставимо значення , у функцію , в результаті одержуємо функцію однієї змінної. Наша задача звелася до знаходження екстремумів функції на інтервалі . Узявши похідну по і прирівнявши її до нуля, знаходимо «стаціонарні» точки функції :

Досліджуємо ці точки на екстремум: якщо , то , для і коли , , тобто функція в точці має максимум, а в точці – мінімум. Тоді у функції існує в точці з координатами , умовний максимум , а в точці з координатами , умовний мінімум на колі

Приклад 29. Знайти умовні екстремуми функції на колі .

Розв’язування. Складемо функцію

і відшукаємо її стаціонарні точки, прирівнявши нулю її перші частинні похідні:

(4.2)

До отриманих рівнянь приєднаємо ще рівняння зв'язку

(4.3)

і розв’яжемо їх сумісно.

Якщо число і , то з рівнянь (4.2) випливає , що суперечить умові (4.3). При з другого рівняння (4.2) випливає, що , а з рівняння (4.3) знаходимо ; при знаходимо , . Таким чином, точками умовного екстремуму можуть бути точки , , , . З виду функції робимо висновок, що в точках і функція має умовний максимум , а в точках і - умовний мінімум . Дійсно, рухаючись по колу від і , ми збільшуємо значення функції, а рухаючись від точок і по колу, зменшуємо значення функції.

Приклад 30. Знайти умовний максимум функції , якщо змінні додатні і задовольняють рівняння .

Розв’язування. Складемо допоміжну функцію

.

Прирівнюючи частинні похідні до нуля, маємо

Виключаємо з цих рівнянь параметр і одержуємо

.

Розв’язуючи це рівняння разом з рівнянням і враховуючи те, що , знаходимо . Далі визначаємо значення параметра у випадку, коли , і частинні та змішані похідні другого порядку функції :

,

.

Cкладаємо та обчислюємо визначник

= (–1–1)+1 =1+1=2.

Так як визначник додатний ( =2), то відповідно до теореми 9, у функції існує в точці умовний максимум.