4.2. Достатня умова існування екстремуму функції двох змінних

Таким чином, стає питання про умови, достатні для існування екстремуму функції двох змінних. Ці умови мають більш складний характер, чим відповідні умови для функції однієї змінної. Приведемо без доведення достатні умови існування (чи відсутності) екстремуму функції.

Теорема 7. Нехай у точці частинні похідні першого порядку функції дорівнюють нулю й існують неперервні частинні та змішані похідні другого порядку, відповідно позначені

, , .

Тоді

а) якщо , то у функції існує в точці екстремум; максимум, коли , та мінімум в випадку ;

б) якщо , то точка не є точкою екстремуму;

в) якщо , то ніякого висновку про характер стаціонарної точки зробити не можна.

Відзначимо, що перші дві умови теореми дозволяють цілком однозначно визначити характер стаціонарної точки, остання ж умова вимагає додаткових досліджень. У цьому випадку, коли хоча б одна з частинних похідних першого порядку не існує, характер точки іноді вдається визначити безпосередньо з вигляду аналітичного задання досліджуваної функції. Розглянемо кілька прикладів знаходження екстремумів функції двох змінних.

Приклад 22. Знайти екстремуми функції .

Розв’язування. Функція визначена і неперервна в усіх точках площини. В початку координат частинні похідні першого порядку цієї функції не існують, але із самого визначення функції зрозуміло, що в цій точці у функції існує мінімум, що збігається з її найменшим значенням.

Приклад 23. Знайти екстремуми функції

.

Розв’язування. Спочатку знаходимо перші частинні похідні функції

, .

Далі визначаємо стаціонарні точки функції, розв’язуючи систему рівнянь:

З другого рівняння виразимо через , маємо . Підставивши в перше рівняння, знаходимо ; а .

Отже, точка є стаціонарною точкою. За допомогою теореми 7 з'ясуємо, чи має функція в точці екстремум. Похідні другого порядку функції в цій точці дорівнюють відповідно:

, ,

і .

Таким чином, точка є точкою екстремуму; так як , то в цій точці у функції існує мінімум, що дорівнює –1.

Приклад 24. Знайти екстремуми функції

.

Розв’язування. Знаходимо перші частинні похідні:

, .

Прирівнюючи ці похідні до нуля, одержимо наступну систему рівнянь:

Методами алгебраїчного додавання з цієї системи одержуємо еквівалентну їй систему:

або

Розв'язуючи цю систему рівнянь, визначаємо чотири критичні точки: , , , . Далі знаходимо другі частинні та змішані похідні

, ,

і обчислюємо

.

Підставляючи в знайдений вираз координати точок , , , , одержуємо відповідно:

, у точці екстремум відсутній,

, , – точка мінімуму,

, , – точка максимуму,

, у точці екстремум відсутній.

Таким чином, у функції існує два екстремуми: у точці мінімум, що дорівнює -72, у точці максимум, що дорівнює 72.

Приклад 25. Знайти екстремуми функції

.

Розв’язування. Знаходимо похідні першого порядку:

, .

Розв’язавши систему рівнянь, одержуємо координати критичної точки функції: , .

Далі визначаємо частинні похідні другого порядку:

, ,

і обчислюємо в точці . У цьому випадку теорема 7 не визначає, чи є в критичній точці екстремум, чи немає.

Однак за заданням функції зрозуміло, що поблизу початку координат функція може приймати як додатні, так і від’ємні значення, тобто в точці екстремума не існує.