Тема 5 Элементы математической статистики

Литература: 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. «Высшая школа». М. 2003.Главы 15 - 19.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. «Высшая школа». М. 2004.Гл. 9-13.

Примеры решения задач.

Задача № 6. Результаты обследования семей по числу членов оказались таким 2; 5; 3; 4; 1; 3; 6; 2; 4; 3; 4; 1; 3; 5; 2; 3; 4; 4; 3. Получить по этим данным вариационный ряд и построить полигон распределения относительных частот.

Решение. Проводим ранжирование данного ряда. Для этого переписываем результаты наблюдений в порядке возрастания вариант:

1; 1; 2; 2; 2; 3; 3: 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 6.

По ранжированному ряду определяем частоты различных вариант. Варианта 1 встречается два раза. Следовательно, ее частота равна m₁ = 2. Варианта 2 встречается три раза. Следовательно, ее частота равна m₂ = 3. Аналогично получаем m₃ = 7, m₄ = 5, m₅ = 2, m₆ = 1.

Определяем относительные частоты наблюдавшихся в выборке вариант. Они равны отношению соответствующей частоты варианты к общему числу наблюдений. Имея в виду, что общее число наблюдений (объем выборки) равно n = 20, относительная частота варианты 1 будет равна .

Аналогично

, , ,

, .

Проверяем правильность расчетов. Для этого суммируем относительные частоты:

= 0,10 + 0,15 + 0,35 + 0,25 + 0,10 + 0,05 = 1,00.

Сумма всех относительных частот равна единице, следовательно, вычисления сделаны верно. Результаты вычислений сводим в таблицу 1, которая называется вариационным рядом или рядом распределения.

Таблица 2 – Ряд распределения числа членов семьи.

Значения варианты хi	1	2	3	4	5	6
Частота варианты mi	2	3	7	5	2	1
Относительная частота варианты ωi	0,10	0,15	0,35	0,25	0,10	0,05

Данные таблицы 2 изобразим на чертеже (рис. 1).В прямоугольной системе координат по горизонтальной оси откладываем значения вариант x_i , а по вертикальной оси – относительные частоты ω_i. Концы ординат относительных частот соединяем прямыми линиями. Полученная фигура называется многоугольником или полигоном распределения относительных частот.

Рис.1

Задача № 7. Известны урожайности в центнерах на один гектар яровой пшеницы в 20 хозяйствах: 13,9; 12,4; 13,1; 6,3; 11,8; 11,6; 10,5; 10,4; 10,6; 11,3; 15,1; 11,7; 11,3; 10,2; 11,0; 10,7; 8,2; 9,6; 10,2; 15,1. Получить интервальный ряд распределения и начертить гистограмму.

Решение. Записываем исходные данные в виде ранжированного ряда: 6,3; 8,2; 9,6; 10,2; 10,2; 10,4; 10,5; 10,6; 10,7; 11,0; 11,3; 11,3; 11,6; 11,7; 11,8; 12,4; 13,1; 13,9; 15,1; 15,1.

Рассматривая этот ряд, видим, что диапазон изменения вариант в выборке составляет 6 – 16.

Весь диапазон изменения вариант в выборке разбиваем на несколько интервалов. Размер интервала выбирается произвольно, но следует иметь в виду, что чем меньше интервал, тем точнее результаты. В данном случае принимаем размер интервала равным 2 единицам ( ∆x_i = 2 ). Получаем пять интервалов: первый 6 – 8, второй 8 – 10, третий 10 – 12, четвертый 12- 14, пятый 14 – 16.

Определяем частоту попадания вариант выборки в каждый интервал. В первый интервал попадает одно значение (6,3) из ряда, поэтому m₁ = 1. Во второй интервал попадает два значения (8,2 и 9,6), поэтому m₂ = 2. Аналогично получаем m₃ = 12, m₄ = 3, m₅ = 2.

Определяем относительные частоты попадания вариант выборки в каждый интервал:

в первый интервал - .

во второй интервал - ,

в третий интервал - ,

в четвертый интервал - ,

в пятый интервал - .

Проверяем правильность расчетов. Для этого суммируем относительные частоты:

= 0,05 + 0,10 + 0,60 + 0,15 + 0,10 = 1,00.

Сумма всех относительных частот равна единице, следовательно, вычисления произведены правильно.

Определяем плотность относительных частот вариант как отношение относительной частоты ω_i к размеру интервала ∆x_i:

для первого интервала - ;

для второго интервала - ;

для третьего интервала - ;

для четвертого интервала - ;

для пятого интервала - .

Результаты вычислений сводим в таблицу 3.

Таблица 3 – Интервальный ряд распределения урожайности яровой пшеницы.

Интервал значений урожайности ∆хi	6 - 8	8 - 10	10 - 12	12 - 14	14 - 16
Частота варианты mi	1	2	12	3	2
Относительная частота варианты ωi	0,05	0,10	0,60	0,15	0,10
Плотность относительных частот	0,025	0,050	0,300	0,075	0,050

Выполняем построение гистограммы, которая показывает зависимость плотности относительных частот от значений вариант. По горизонтальной оси наносим шкалу возможных значений вариант, по оси ординат – плотность относительных частот; величину относительной плотности считаем постоянной внутри соответствующего интервала. Получаем столбчатую диаграмму, которая называется гистограммой распределения плотности относительных частот (рис. 2)

Рис.2.

Задача № 8. Даны результаты обследования 25 единиц выборки: 9; 11; 9; 6; 6; 7; 6; 8; 9; 9; 11; 10; 6; 7; 6; 8; 9; 10; 4; 9; 10; 7; 8; 9; 6. Определить: 1) величину, которую следует принять за среднюю генеральной совокупности; 2) величину, которую следует принять за дисперсию генеральной совокупности; 3) доверительный интервал с границами .

Решение. В качестве приближенного значения средней генеральной совокупности принимаем среднее арифметическое значение выборки:

.

Для оценки дисперсии генеральной совокупности принимаем формулу

.

Среднее квадратическое отклонение выборочной средней найдем по формуле

.

Таким образом:

1) в качестве средней генеральной совокупности принимаем

;

Расчеты по приведенным формулам удобно свести в таблицу 4.

Таблица 4. – Обработка результатов наблюдений

№ п/п	Результат наблюде- ния xi			№ п/п	Результат наблюде- ния xi
1	9	1	1	14	7	-1	1
2	11	3	9	15	6	-2	4
3	9	1	1	16	8	0	0
4	6	-2	4	17	9	1	1
5	6	-2	4	18	10	2	4
6	7	-1	1	19	4	-4	16
7	6	-2	4	20	9	1	1
8	8	0	0	21	10	2	4
9	9	1	1	22	7	-1	1
10	9	1	1	23	8	0	0
11	11	3	9	24	9	1	1
12	10	2	4	25	6	-2	4
13	6	-2	4		200		80

2) в качестве дисперсии генеральной совокупности принимаем величину

;

3) доверительный интервал размером ±2 средних квадратических отклонений получается таким:

среднее квадратическое отклонение средней выборки

;

доверительный интервал

8 ± 2∙0,366, или 8 ± 0,732.