Тема 3 Случайные величины.

Литература: 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. «Высшая школа». М. 2003.Главы 6 -8.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. «Высшая школа». М. 2004.Гл. 5.

Примеры решения задач

Задача 4. Задан закон распределения случайной дискретной величины X. Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

X	-3	-1	1	3	5
р	0,1	0,2	0,3	0,25	0,15

Решение. Математическое ожидание случайной дискретной величины

.

В нашем случае

.

Дисперсия случайной дискретной величины

.

Для нахождения математического ожидания квадрата случайной величины составим закон ее распределения

Х2	9	1	1	9	25
р	0,1	0,2	0,3	0,25	0,15

Тогда

.

.

Среднее квадратичное отклонение случайной величины X

.

Тема 4 Нормальное распределение

Литература: 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. «Высшая школа». М. 2003.Главы 10 - 12.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. «Высшая школа». М. 2004.Гл.5.

Примеры решения задач

Задача 5. Масса клубня посадочного картофеля, средняя величина которой равна 60 г, является нормально распределенной случайной величиной со средним квадратичным отклонением 10 г. Найти вероятность того, что взятый наугад клубень имеет: а) отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не более 5 г; б) массу более 62 г; в) массу менее 50 г.

Решение, а). Обозначим через Х массу клубня. Тогда согласно условию задачи М(Х) = а = 60, σ(Χ) = 10. Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет одно из своих значений в интервале (α, β) вычисляется по формуле:

.

В нашем случае , . Тогда

В таблице Приложения 2 находим Ф(0,5) =0,1915, соответственно, Ф(—0,5) = -0,1915. Искомая вероятность равна

.

б). Вероятность того, что значение случайной величины X, имеющей нормальное распределение, будет превосходить а, также можно определить по формуле

,

где , так как верхняя граница отклонения случайной величины X теоретически может быть какой угодно. Тогда имеем:

Функция Лапласа , в таблице Приложения 2 находим Ф(0,2) = 0,0793. Отсюда вероятность того, что масса наугад взятого клубня превысит 62 г

Р(Х> 62) ≈ 0,5-0,0793 = 0,4207.

в). Вероятность того, что значение случайной величины X, имеющей нормальное распределение, будет менее β, также определяется формулой

.

где α = 0, так как нижняя граница отклонения случайной величины X может быть какой угодно. Тогда имеем:

.

В таблице 2 Приложения находим значения функций Лапласа Ф(-1) = -0,3413 и Ф(-6) = -0,5. Отсюда вероятность того, что масса наугад взятого клубня будет менее 50 г:

.