Костанайский государственный университет им. А.Байтурсынова

Факультет информационных технологий

Реферат

На тему «История простых чисел»

Подготовил: Попченко А.С.

Проверила: Рыщанова С.М.

Костанай 2014

Содержание

Введение……………………………………………………………………………….3

1.История открытия простых чисел и их свойств………………………..................4

2.Некоторые нерешенные проблемы простых чисел……………………………….7

3.Теорема Евклида о бесконечности ряда простых чисел………………………….9

4.Решето Эратосфена………………………………………………………………..10

4.1 Алгоритм……………………………………………………………………….11

4.2 Сложность алгоритма………………………………………………………….12

4.3 Примеры реализаций…………………………………………………………..13

4.4 Пример для n=30……………………………………………………………….14

5.Теорема о распределении простых чисел………………………………………..15

5.1 История………………………………………………………………………...15

5.2 Переформулировка в терминах пси-функции Чебышёва…………………..16

6.Проблема Гольдбаха………………………………………………………………17

Заключение…………………………………………………………………………...19

Список используемой литературы………………………………………………….20

Введение

Изучая дисциплину «Методика преподавания и история математики», мною было приобретено достаточно количества знаний о происхождении этой замечательной науки. Так же были изучены неотъемлемые вклады множества древних ученых в развитие математики, как науки, а так же история зарождения и развития математики в разных странах.

Меня заинтересовала тема истории простых чисел, их открытие, их свойства, проблемы связанные с простыми числами, а так же было интересно узнать об ученых, внесших свой вклад в развитие изучения простых чисел, которые не только открыли их, но и сформулировали достаточно теорем и законов, связанных с простыми числами.

В данном реферате мною подробно описаны множество исторических фактов возникновения понятия простых чисел, история развития науки о простых числах, а так же множество теорем и законов, связанных с простыми числами. Так же в данной работе будут названы имена великих ученых, работавших над простыми числами и сделавших свои открытия в этой области.

1.История открытия простых чисел и их свойств

Простые числа и их свойства впервые активно начали изучать математики Древней Греции.

Математики школы Пифагора (500 г. до н.э. – 300 г. до н.э.) интересовались мистическими и нумерологическими свойствами чисел. Они понимали идею простоты чисел и изучали совершенные и дружественные числа.

Совершенное число – это число, которое равно сумме всех своих собственных делителей, т.е. делителей, отличных от самого числа. Например, число имеет собственные делители и , и , имеет собственные делители и , и .

Пара дружественных чисел – это пара таких чисел, как 220 и 284, собственные делители одного из них в сумме дают другое и наоборот.

Ко времени появления “Начал” Евклида, примерно в 300 г. до н.э., был доказан ряд важных результатов, касающихся простых чисел. В Книге IX “Начал” Евклид доказывает, что существует бесконечно много простых чисел. Это одно из первых известных доказательств, которое для того, чтобы установить результат, использует метод от противного. Евклид дает также доказательство основной теоремы арифметики: каждое целое число в сущности единственным способом можно представить в виде произведения простых чисел.

Евклид показал также, что если число простое, то число совершенное. Эйлеру (уже гораздо позже, в 1747 г.) удалось доказать, что все четные совершенные числа имеют такой вид. До сих пор неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа.

Примерно в 200 г. до н.э. грек Эратосфен разработал алгоритм нахождения простых чисел, который называется решетом Эратосфена.

Далее в истории простых чисел долгий застой в то время, которое обычно называют Темными веками Средневековья.

Следующие важные достижения были сделаны Ферма в начале XVII века. Он доказал гипотезу Альбера Жирара, что каждое простое число вида единственным образом представимо в виде суммы двух квадратов и смог показать, как любое число может быть представлено в виде суммы четырех квадратов. Он разработал новый метод факторизации больших чисел, который продемонстрировал на примере числа . Он доказал теорему, которая стала известна как малая теорема Ферма (чтобы отличить ее от его так называемой последней, или большой теоремы).

Она утверждает, что если простое, то для любого целого .

Это доказывает в одну сторону утверждение, которое называется китайской гипотезой, появившееся примерно на 2000 лет раньше, что целое число является простым тогда и только тогда, когда число делится на . В обратную сторону это утверждение неверно, так как, например, делится на 341, хотя является составным числом. Малая теорема Ферма является основой для многих других результатов в теории чисел, а также для методов, позволяющих проверить простоту числа, которые до сих пор используются в современных компьютерных программах.

Ферма переписывался с другими математиками своего времени, в частности, с монахом Мареном Мерсенном. В одном из своих писем к Мерсенну он предположил, что числа всегда простые, если n является степенью 2. Он проверил это при и , и он знал, что если не является степенью , предположение неверно. Числа такого вида называются числами Ферма, и только более чем 100 лет спустя Эйлер показал, что число делится на и, таким образом, не простое.

Числа вида также привлекают внимание, потому что легко показать, что если не простое, то такое число должно быть составным. Их часто называют числами Мерсенна , потомучто Мерсенн их изучал.

Не все числа вида с простым являются простыми. Например является составным, однако это было впервые отмечено еще в 1536 году.

В течение многих числа такого вида были самыми большими известными простыми числами. Катальди (Cataldi) в 1588 году доказал простоту числа , и это было самое большое из известных простых чисел в течение примерно 200 лет, пока Эйлера не доказал, что число простое. Этот рекорд рекорд продержался в течение следующего века, а когда Лукас (Lucas) показал, что (состоящее из 39 цифр) – простое число, это стало рекордом до появления ЭВМ.

В 1952 году Робинсоном с помощью раннего компьютера была доказана простота чисел Мерсенна и , и электронный век начался.

К 2005 году было найдено в общей сложности 42 простых числа Мерсенна. Самое большое из них – , которое состоит из 7816230 десятичных цифр.

Работы Эйлера оказали большое влияние на теорию чисел в целом и ни теорию простых чисел в частности.

Он обобщил малую теорему Ферма и ввел функцию Эйлера . Как уже говорилось выше, он разложил на множители пятое число Ферма , обнаружил 60 пар дружественных чисел, определенных ранее, и предположил (но не смог доказать) то, что стало известно как квадратичный закон взаимности.

Он был первым, кто понял, что теория чисел может изучаться с помощью инструментов анализа, и, таким образом, положил начало аналитической теории чисел. Ему удалось показать, что не только так называемый гармонический ряд расходится, но и ряд

получающийся суммированием величин, обратных простым числам, также расходится. Сумма членов гармонического ряда растет примерно как , в то время как последний ряд расходится еще медленнее, как . Это означает, например, что сложение обратных величин для всех приведенных простых чисел даже на самом мощном компьютере дает сумму только около 4, но сумма ряда стремится к .

На первый взгляд кажется, что простые числа распределены между целыми числами случайным образом. Например, среди 100 чисел непосредственно предшествующих числу 10 000 000, есть 9 простых чисел, а в 100 числах сразу же после 10 000 000 – только 2 простых числа. Однако в больших масштабах простые числа распределены довольно регулярно. Лежандр и Гаусс выполнили большие расчеты плотности расположения простых чисел. Гаусс (который был мощным вычислителем) рассказал другу, что всякий раз, когда у него было свободных 15 минут, он проводил их, вычисляя простые числа в “тысяче” (диапазоне в 1000 чисел). К концу своей жизни, по оценкам, он нашел все простые числа примерно до 3 000 000. Оба, и Лежандр, и Гаусс пришли к выводу, что при больших плотность простых чисел, близких к составляет примерно . Лежандр дал оценку числа простых чисел, не превосходящих :

а оценка Гаусса дана в терминах логарифмического интеграла:

Утверждение, что плотность простых чисел равна известно как теорема о распределении простых чисел. Попытки доказать ее продолжалось на протяжении XIX-го века с заметным прогрессом, достигнутым Чебышевым и Риманом, который смог связать эту проблему с тем, что называется гипотезой Римана: до сих пор недоказанной результат о нулях в комплексной плоскости дзета-функции Римана. В конечном итоге утверждение доказали (используя мощные методы комплексного анализа) Адамар и Ла Валле Пуссен в 1896 году.