3. Оборудование

1. Резисторы. 2. Катушка индуктивности. 3. Осциллограф. 4. Генератор прямоугольных импульсов. 6. Катушка индуктивности с ферромагнитным сердечником.

4. Основные теоретические сведения

1. Индуктивность контура. Явление самоиндукции

Вокруг любого проводника с током I существует магнитное поле. Собственное магнитное поле контура с током создает магнитный поток Ф_С через воображаемую поверхность S, ограниченную этим контуром:

(1)

где В_n – проекция вектора индукции магнитного поля на нормаль к элементу поверхности dS.

Из закона Био-Савара-Лапласа и принципа суперпозиции следует, что эта проекция при постоянном значении магнитной проницаемости среды µ равна

где - вектор индукции магнитного поля, созданного элементом замкнутого контура Г с током I в точке, местоположение которой относительно определяется радиус – вектором .

Подставляя выражение для В_n в формулу (1) и вынося из-под знака интеграла постоянные, получим:

(2)

или

Коэффициент пропорциональности L между собственным потоком вектора магнитной индукции Ф_С через поверхность, ограниченную контуром, и силой тока I в этом контуре называется индуктивностью контура (коэффициентом самоиндукции).

Из формулы (2) следует, что индуктивность контура зависит только от геометрических размеров, формы контура и магнитной проницаемости µ той среды, в которой он находится.

Единица индуктивности в СИ называется Генри (Г): .

Для достаточно длинного соленоида, витки которого плотно прилегают друг к другу и сделаны из проводника с очень малым поперечным сечением, индуктивность выражается следующей формулой:

(3)

где n – плотность намотки витков соленоида, - количество витков на единицу длины, V – объем соленоида, µ - магнитная проницаемость вещества сердечника.

Если сила тока, протекающего по контуру, изменяется со временем, то в соответствии с законом Фарадея, в контуре наводится ЭДС самоиндукции Е_С:

Если контур с током не деформируются и магнитная проницаемость среды µ не изменяется (нет ферромагнетиков в магнитном поле контура), то и

(4)

По правилу Ленца ЭДС самоиндукции противодействует изменению тока в контуре, замедляя как его возрастание, так и убывание.

2. Закон изменения тока в цепи при подключении и отключении источника. Применение закона для определения индуктивности.

Найдем изменение тока в цепи, состоящей последовательно соединенных соленоида, индуктивность которого равна L, и резистора, активное сопротивление которого R.

Если внешнее магнитное поле отсутствует или постоянно, а контур неподвижен, то индукционные явления обусловлены только самоиндукцией.

Из закона Ома для замкнутой цепи, в которой действует источник ЭДС Е, а общее активное сопротивление R, сила тока равна:

Для нахождения зависимости силы тока от времени разделим переменные:

Полагая E, R, L постоянными интегрируя, получаем:

где С – постоянная интегрирования, значение которой определяется начальными условиями решаемой задачи.

Пусть в момент времени силы тока . Тогда

Выразив силу тока, получим:

(5)

Из этой общей формулы можно получить зависимость силы тока от времени при замыкании цепи. В этом случае начальный ток равен нулю и выражение (5) приобретает вид:

(6)

Из этой формулы видно, что сила тока при замыкании цепи постепенно увеличивается, стремясь к соответствующей величине постоянного тока (рис. 13.1). Нарастание тока происходит тем медленнее, чем меньше отношение в показателе степени экспоненты или больше обратное отношение , физический смысл которого обсуждается ниже.

Если же в момент времени t₁ при силе тока I₁ источник ЭДС отключить (Е=0) сохранив замкнутость цепи, то из формулы (5) получим следующую зависимость силы тока от времени:

(7)

В этом случае сила тока в цепи постепенно уменьшается от начального значения I₁, стремясь к нулю. При этом за время (время релаксации) сила тока изменяется в раз.

Следует заметить, что в опыте удобнее снимать вместо зависимости силы тока в цепи от времени I(t) зависимость напряжения на некотором известном активном сопротивлении R₁, последовательно включенном в цепь, от времени U(t). Напряжение в этом случае будет пропорционально силе тока.

И з сказанного ясно, что, измерив силу тока (или напряжение) в некоторые моменты времени t_a, t_b и зная величину общего активного сопротивления контура R, можно с помощью зависимостей (6) и (7) определить индуктивность контура L.

Особенно просто можно определить индуктивность, измерив время релаксации:

(8)

3. Вынужденные электромагнитные колебания в контуре, их применение для измерения индуктивности.

Р ассмотрим контур, состоящий из последовательно соединенных конденсатора емкостью С, активного сопротивления R и соленоида индуктивностью L.

Для получения незатухающих электромагнитных колебаний необходимо включить в контур источник тока с периодически изменяющейся ЭДС (рис. 13.2).

В этом случае колебания в контуре являются вынужденными.

Пусть внешняя ЭДС изменяется по гармоническому закону:

Тогда, используя закон Ома, можно получить следующее дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний

и, решив это уравнение, получить для установившихся вынужденных колебаний следующую связь амплитудных значений силы тока и внешней ЭДС:

(9)

где величина Z называется полным сопротивлением электрической цепи переменного тока.

В нее входят активное сопротивление R контура, емкостное сопротивление и индуктивное сопротивление .

Если электрическая емкость контура стремится к бесконечности ( ), то есть емкостное сопротивление к нулю, то формула (9) упрощается:

(10)

Используя это выражение, получим рабочую формулу для экспериментального определения индуктивности соленоида. При этом учтем, что амплитуда падения напряжения на активном сопротивлении R связана с амплитудой силы тока в цепи формулой:

(11)

Из выражений (10) и (11) получим

(12)

Схемы измерений и опытной установки

Рис. 13.3

Рис. 13.4