Гипербола.

О ПРЕДЕЛЕНИЕ 1.7. ПУСТЬ ДВЕ ФИКСИРОВАННЫХ ТОЧКИ НА ОХУ ПЛОСКОСТИ. ГИПЕРБОЛА- ЭТО ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК ТАКОЕ, ЧТО РАЗНОСТЬ РАССТОЯНИЙ ЕСТЬ ПОСТОЯННАЯ ВЕЛИЧИНА. ТОЧКИ НАЗЫВАЮТСЯ ФОКУСАМИ ГИПЕРБОЛЫ.

ДВЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ, ПЕРВАЯ ИЗ КОТОРЫХ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ФОКУСЫ, А ВТОРАЯ ЧЕРЕЗ СЕРЕДИНУ ОТРЕЗКА НАЗЫВАЮТСЯ ОСЯМИ ГИПЕРБОЛЫ. СЕРЕДИНА ОТРЕЗКА НАЗЫВАЕТСЯ

РИС.9

ЦЕНТРОМ ГИПЕРБОЛЫ. ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ С ОСЬЮ НАЗЫВАЮТСЯ ВЕРШИНАМИ ГИПЕРБОЛЫ (РИС.9).

В «КАНОНИЧЕСКОЙ» СИСТЕМЕ КООРДИНАТ ЦЕНТР СИММЕТРИИ ГИПЕРБОЛЫ РАСПОЛОЖЕН В НАЧАЛЕ КООРДИНАТ, А ФОКУСЫ ЛЕЖАТ НА ОСИ ОХ ИЛИ ОУ. ГИПЕРБОЛА СИММЕТРИЧНА ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ КООРДИНАТ.

ПРИМЕР 10. НАЙТИ УРАВНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА ТОЧЕК , ДЛЯ КОТОРЫХ РАЗНОСТЬ РАССТОЯНИЙ ОТ ДВУХ ТОЧЕК РАВНА 4.

ДАЛЕЕ ИМЕЕМ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ 1.7

УРАВНЕНИЕ ЯВЛЯЕТСЯ КАНОНИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ ГИПЕРБОЛЫ В «КАНОНИЧЕСКОЙ» СИСТЕМЕ КООРДИНАТ .

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ СФОРМУЛИРОВАН В СЛЕДУЮЩЕЙ ТЕОРЕМЕ 5.

Т ЕОРЕМА 5. ПУСТЬ ФОКУСЫ ГИПЕРБОЛЫ ЛЕЖАТ НА ОСИ ОХ В ТОЧКАХ . В ЭТОМ СЛУЧАЕ СИСТЕМУ КООРДИНАТ БУДЕМ НАЗЫВАТЬ «КАНОНИЧЕСКОЙ»

ТОГДА ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ СЛЕДУЕТ, ЧТО И ЕСЛИ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ ЛЕЖАЩЕЙ НА ГИПЕРБОЛЕ, ТО ОНИ УДОВЛЕТВОРЯЮТ

« КАНОНИЧЕСКОМУ» УРАВНЕНИЮ , (22)

ГДЕ (23)

Рис.11

В ОТЛИЧИЕ ОТ ПАРАБОЛЫ И ЭЛЛИПСА ГИПЕРБОЛА ИМЕЕТ АСИМПТОТЫ. ЭТО ОЗНАЧАЕТ, ЧТО

ЛИНИЯ ГИПЕРБОЛЫ, ПРИ НЕОГРАНИЧЕННОМ УДАЛЕНИИ ТОЧКИ ГИПЕРБОЛЫ ОТ НАЧАЛА КООРДИНАТ,

НЕОГРАНИЧЕННО ПРИБЛИЖАЕТСЯ (ПРАКТИЧЕСКИ НЕОТЛИЧИМА) К ПРЯМОЙ ЛИНИИ НАЗЫВАЕМОЙ АСИМПТОТОЙ ГИПЕРБОЛЫ. УРАВНЕНИЯ АСИМПТОТ ИМЕЮТ ВИД

УПРАЖНЕНИЕ. УКАЖИТЕ НА РИСУНКЕ 11 АСИМПТОТЫ ГИПЕРБОЛЫ.

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ГИПЕРБОЛЫ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ АНАЛОГИЧНО ЭКСЦЕНТРИСИТЕТУ ЭЛЛИПСА . НО У ГИПЕРБОЛЫ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ВСЕГДА БОЛЬШЕ ЕДИНИЦЫ (ЭТО СЛЕДУЕТ ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 7).

ДИРЕКТРИСЫ ГИПЕРБОЛЫ (14) ЗАДАЮТСЯ УРАВНЕНИЯМИ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

(24)

ТЕОРЕМА 6. ПУСТЬ ФОКУСЫ ГИПЕРБОЛЫ ЛЕЖАТ НА ОСИ ОУ В ТОЧКАХ . В ЭТОМ СЛУЧАЕ СИСТЕМУ КООРДИНАТ БУДЕМ НАЗЫВАТЬ «КАНОНИЧЕСКОЙ» ТОГДА ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ СЛЕДУЕТ, ЧТО И ЕСЛИ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ ЛЕЖАЩЕЙ НА ГИПЕРБОЛЕ, ТО ОНИ УДОВЛЕТВОРЯЮТ «КАНОНИЧЕСКОМУ» УРАВНЕНИЮ (РИС,12) , (25)

ГДЕ (26)

РИС.12

ЛИНИЯ ГИПЕРБОЛЫ, ПРИ НЕОГРАНИЧЕННОМ УДАЛЕНИИ ТОЧКИ ГИПЕРБОЛЫ ОТ НАЧАЛА КООРДИНАТ,

НЕОГРАНИЧЕННО ПРИБЛИЖАЕТСЯ (ПРАКТИЧЕСКИ НЕОТЛИЧИМА ) К ПРЯМЫМ ЛИНИЯМ НАЗЫВАЕМЫМ

АСИМПТОТАМИ ГИПЕРБОЛЫ. УРАВНЕНИЯ АСИМПТОТ В ЭТОМ СЛУЧАЕ ИМЕЮТ ВИД

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ГИПЕРБОЛЫ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ АНАЛОГИЧНО ЭКСЦЕНТРИСИТЕТУ ЭЛЛИПСА . У ГИПЕРБОЛЫ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ВСЕГДА БОЛЬШЕ ЕДИНИЦЫ.

ДИРЕКТРИСЫ ДАННОЙ ГИПЕРБОЛЫ - ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

(27)

УПРАЖНЕНИЕ. УКАЖИТЕ НА РИСУНКЕ 12 ДИРЕКТРИСЫ ГИПЕРБОЛЫ.

ЗАМЕЧАНИЕ. ОБРАЩАЕМ ВНИМАНИЕ ЧИТАТЕЛЯ, ЧТО ПО ВИДУ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ МОЖНО СКАЗАТЬ НА КАКОЙ ОСИ ЛЕЖАТ ФОКУСЫ ГИПЕРБОЛЫ.

ПРИМЕР 11. НА РИС.13 ПРИВЕДЁН ЧЕРТЁЖ ГИПЕРБОЛЫ И ВЫПИСАНЫ ЕЁ УРАВНЕНИЯ В СТАРОЙ И НОВОЙ СИСТЕМАХ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ. НОВАЯ СИСТЕМА ПОЛУЧЕНА ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СДВИГОМ ОСЕЙ СТАРОЙ СИСТЕМЫ.

1

3

РИС.13

В СТАРОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ИМЕЕТ ВИД

В НОВОЙ «КАНОНИЧЕСКОЙ» СИСТЕМЕ КООРДИНАТ УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ИМЕЕТ КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД

(СМ. ФОРМУЛУ (19)) . ДАННАЯ ЛИНИЯ ГИПЕРБОЛА.