Лекция 3. Прямая линия на плоскости. Кривые второго порядка.

Одной из важных задач в математике является задача определения положения точки. Эта задача решается разными способами. Один способ хорошо известен из школьной программы. Это определение положения точки с помощью декартовой системы координат.

Д ля этого на плоскости фиксируются две взаимно перпендикулярные числовые оси. Горизонтальная ось -ось абсцисс и вертикальная ось -ось ординат. Точка пересечения О этих осей называется началом координат. Плоскость, на которой введена система координат, называется координатной плоскостью.

M

Х1

У1

На координатной плоскости возьмем произвольную точку и проведём через неё прямые параллельные координатным осям. Пересечение прямой с осью даёт нам единственное число , а пересечение прямой с осью даёт нам единственное число .

Обратно, если задана пара чисел , ,то из рис.1 видно, что она определяет единственную точку .

рис.1

Определение 1. Упорядоченная пара чисел , определяющая положение точки на координатной плоскости называется прямоугольными декартовыми координатами точки. Число называют абсциссой точки, а число ординатой точки . Произвольную точку на координатной плоскости будем обозначать так . Каждая точка имеет свои координаты и наоборот каждая пара координат задаёт одну определённую точку. Каждое правило теперь может быть сформулировано на двух разных языках: 1) на геометрическом языке и 2)на аналитическом языке (языке координат)

Например, задать точку на координатной плоскости это значит: 1) либо обозначить её на плоскости, 2) либо задать её координаты. Найти точку это значит: 1) либо найти её положение на координатной плоскости, 2) либо найти её координаты. Если задавать абсциссу и ординату точки независимо друг от друга, то на координатной плоскости получим совершенно произвольные расположения точек . Если же координаты и связаны между собой определённым правилом, то меняя их по этому правилу, получаем на плоскости кривую, состоящую из этих точек.

Например, если сумма квадратов координат равна 1 , то получаем уравнение окружности радиуса 1. На практике различные расчёты с геометрическими объектами производятся в координатах. Затем, если это нужно, полученные результаты переводятся для наглядности на геометрический язык. На языке координат задать линию значит задать правило связывающее между собой ординату и абсциссу . Такое правило называется уравнением линии в координатной плоскости.

Простейшие преобразования декартовой системы координат. Параллельныйсдвиг осей координат.

П

УСТЬ ТОЧКА В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ ИМЕЕТ КООРДИНАТЫ . ПОМЕСТИМ НАЧАЛО НОВОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ В ТОЧКУ . ОСЬ НАПРАВИМ ПАРАЛЛЕЛЬНО ОСИ , А ОСЬ ПАРАЛЛЕЛЬНО ОСИ . ТОГДА В НОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ ТОЧКА БУДЕТ ИМЕТЬ КООРДИНАТЫ (РИС.13) . ЕСЛИ ТЕПЕРЬ НА ПЛОСКОСТИ РАССМОТРИМ ПРОИЗВОЛЬНУЮ ТОЧКУ , ИМЕЮЩУЮ В СТАРОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ КООРДИНАТЫ , ТО В НОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ ТОЧКА БУДЕТ ИМЕТЬ КООРДИНАТЫ

(1)

ПЕРЕХОД ОТ КООРДИНАТНОЙ СИСТЕМЫ К СИСТЕМЕ НАЗОВЕМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СДВИГОМ ОСЕЙ КООРДИНАТ (РИС.).

Найдем уравнение простейшей линии, которая, тем не менее, играет одну из важных ролей в математике.

Вывод уравнения прямой линии и исследование прямой линии на координатной плоскости.

О

Р

ПРЕДЕЛЕНИЕ 2. УГОЛ НАКЛОНА ПРЯМОЙ К ОСИ ОХ ИЗМЕРЯЕТСЯ ПОВОРОТОМ (вокруг точки Р) ПРОТИВ ЧАСОВОЙ СТРЕЛКИ ОСИ ОХ ДО СОВПАДЕНИЯ С ПРЯМОЙ. РИС.2

РИС.2

ПРАВИЛО 1. ЕСЛИ ЧЕРЕЗ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ ПРОВЕСТИ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, ТО ВСЕ ПОЛУЧЕННЫЕ УГЛЫ БУДУТ РАВНЫ ( КАК УГЛЫ С ВЗАИМНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ СТОРОНАМИ) УГЛУ НАКЛОНА ПРЯМОЙ К ОСИ ОХ. РИС.3.

РИС.3

K

M

M

ПУСТЬ ЗАДАНА ПРОИЗВОЛЬНАЯ НЕВЕРТИКАЛЬНАЯ ПРЯМАЯ. ВОЗЬМЁМ НА НЕЙ ДВЕ ТОЧКИ. ФИКСИРОВАННУЮ ТОЧКУ С КООРДИНАТАМИ И ПЕРЕМЕННУЮ ТОЧКУ С КООРДИНАТАМИ . ПРОВЕДЁМ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ ГОРИЗОНТАЛЬНУЮ ПРЯМУЮ, А ЧЕРЕЗ ТОЧКУ ВЕРТИКАЛЬНУЮ ПРЯМУЮ. ТРЕУГОЛЬНИК ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ. ОТНОШЕНИЕ ЧИСЛЕННО РАВНО ТАНГЕНСУ УГЛА (РИС.4). ПЕРЕХОДЯ К КООРДИНАТАМ ПОЛУЧАЕМ = . ТАК КАК СОГЛАСНО ПРАВИЛУ 1.1 УГОЛ РАВЕН УГЛУ НАКЛОНА ПРЯМОЙ К ОСИ ОХ, ТО КАКУЮ БЫ ТОЧКУ НА ПРЯМОЙ НИ ВЗЯТЬ ВЕЛИЧИНА БУДЕТ ДЛЯ ДАННОЙ ПРЯМОЙ ПОСТОЯННОЙ. ЭТУ ВЕЛИЧИНУ НАЗЫВАЮТ УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ДАННОЙ ПРЯМОЙ И ОБЫЧНО ОБОЗНАЧАЮТ БУКВОЙ

(2)

или (3)

рис.4.

_ПРИМЕР 1 НАЙТИ УГЛОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ, ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ

РЕШЕНИЕ. 1) ВЫЧИСЛЯЕМ ПРИРАЩЕНИЯ ОРДИНАТЫ И АБСЦИССЫ ПО ФОРМУЛЕ (1) ОПРЕДЕЛЯЕМ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ НАКЛОНА ПРЯМОЙ а) . 2) АНАЛОГИЧНО ОПРЕДЕЛЯЕМ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ ВТОРОЙ ПРЯМОЙ . 3) УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТРЕТЬЕЙ ПРЯМОЙ .

ДАННЫЙ ПРИМЕР ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ МОЖЕТ БЫТЬ ЛИБО ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ, ЛИБО ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ, ЛИБО РАВНЫМ НУЛЮ.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ УГЛОВОГО КОЭФФИЦИЕНТА УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ.

ЕСЛИ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ , то угол наклона прямой к оси ОХ тупой .

ЕСЛИ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ , то угол наклона прямой к оси ОХ острый .

ЕСЛИ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ , ТО ПРЯМАЯ ЛИНИЯ ГОРИЗОНТАЛЬНА.

ПРАВИЛО 2.

ДВЕ ПРЯМЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА ЕСЛИ ИХ УГЛОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ РАВНЫ .

ЕСЛИ ( НЕВЕРТИКАЛЬНАЯ И НЕГОРИЗОНТАЛЬНАЯ) ПРЯМАЯ ИМЕЕТ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ НАКЛОНА , ТО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ К НЕЙ ПРЯМАЯ ИМЕЕТ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ НАКЛОНА .Доказательство. ПУНКТ а) ПРАВИЛА ОЧЕВИДЕН (СМ. ПРАВИЛО 1).

B

A

C

D

Докажем ). ПУСТЬ ПРЯМАЯ С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ перпендикулярна прямой С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ . Угловой коэффициент наклона прямой : равен , а угловой коэффициент наклона прямой : . В любом треугольнике всякий внешний угол равен сумме двух внутренних углов не смежных с ним (РИС.5).

рис.5.

Отсюда внешний угол равен . Поэтому угловой коэффициент наклона прямой равен: Пункт правила 2 доказан.

СЛЕДУЮЩЕЕ ПРАВИЛО ПОЗВОЛЯЕТ ВЫЧИСЛЯТЬ УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ ЛИНИЯМИ.

ПРАВИЛО 3 . ОБОЗНАЧИМ ОСТРЫЙ УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ

И ПРЯМОЙ ЧЕРЕЗ . ТОГДА СПРАВЕДЛИВА ФОРМУЛА: (4)

Д

A

B

C

D

ОКАЗАТЕЛЬСТВО. В ЛЮБОМ ВСЯКИЙ ВНЕШНИЙ УГОЛ РАВЕН СУММЕ ДВУХ ВНУТРЕННИХ НЕ СМЕЖНЫХ С НИМ. ОБОЗНАЧИМ ; СЛЕДОВАТЕЛЬНО ( СМ. РИС.6) . ВЫЧИСЛИМ ТАНГЕНС ОТ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ РАВЕНСТВА

РИС.6

ЧТОБЫ ВЫЧИСЛИТЬ ОСТРЫЙ УГОЛ НУЖНО ФОРМУЛУ СПРАВА БРАТЬ ПО МОДУЛЮ. ПРАВИЛО 1.3 ДОКАЗАНО.

ПРИМЕР 3 ИСПОЛЬЗУЯ ПРАВИЛО 1.2 ДОКАЗАТЬ, ЧТО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ, ГДЕ .

РЕШЕНИЕ. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ЭТО ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК, У КОТОРОГО ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ СТОРОНЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ.

ВЫЧИСЛИМ НАКЛОНЫ ПРЯМЫХ ,

ТАК КАК , то по правилу 1.2 пункт а) сторона параллельна стороне . Далее

отсюда следует, что сторона параллельна стороне . Что и требовалось

доказать.

ПРИМЕР 4. ВЫЧИСЛИТЬ УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ ЛИНИЯМИ, ИМЕЮЩИМИ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ УГЛОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ:

РЕШЕНИЕ. В ПЕРВОМ ПРИМЕРЕ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ , . ТАК КАК

, ТО ПО ПРАВИЛУ 2 в) ДАННЫЕ ПРЯМЫЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ. ВО ВТОРОМ ПРИМЕРЕ , . Тангенс острого угла вычисляем по формуле(3)

В ТРЕТЬЕМ ПРИМЕРЕ .

УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ НА ПЛОСКОСТИ.

У РАВНЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПРЯМОЙ ЛИНИИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ , ИМЕЕТ ВИД

(5)

ТАК КАК СОСТОИТ ИЗ ТОЧЕК, У КОТОРЫХ АБСЦИССА ПОСТОЯННА И РАВНА (РИС.7) . ТАКАЯ ПРЯМАЯ ПАРАЛЛЕЛЬНА ОСИ ОУ.

РИС.7

УРАВНЕНИЕ НЕВЕРТИКАЛЬНОЙ ПРЯМОЙ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЕСЛИ НЕВЕРТИКАЛЬНАЯ ПРЯМАЯ ЛИНИЯ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ДВЕ ТОЧКИ И . ТОГДА УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ РАВЕН

ДЛЯ ЛЮБОЙ ТОЧКИ ЛЕЖАЩЕЙ НА ДАННОЙ ПРЯМОЙ.

УМНОЖАЯ ОБЕ ЧАСТИ РАВЕНСТВА НА МНОЖИТЕЛЬ ( ), ПОЛУЧАЕМ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

(6)

УРАВНЕНИЕ (6) НАЗЫВАЕТСЯ УРАВНЕНИЕМ ПРЯМОЙ ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ .

ЗАМЕЧАНИЕ. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ (6) ПОКАЗЫВАЕТ НАМ, ЧТО ПРЯМАЯ ЛИНИЯ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ и ЧТО ТАНГЕНС УГЛА НАКЛОНА ПРЯМОЙ К ОСИ ОХ ЧИСЛЕННО РАВЕН УГЛОВОМУ КОЭФФИЦИЕНТУ .

У РАВНЕНИЕ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПРЯМОЙ

ЕСЛИ УГОЛ НАКЛОНА ПРЯМОЙ РАВЕН И ПОЭТОМУ 0, ТО ИЗ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ (1.6) ПОЛУЧАЕМ УРАВНЕНИЕ

(7)

ПРЯМАЯ СОСТОИТ ИЗ ТОЧЕК, У КОТОРЫХ ОРДИНАТА ПОСТОЯННА И РАВНА . ТАКАЯ ПРЯМАЯ ПАРАЛЛЕЛЬНА ОСИ ОХ ( РИС. 8).

РИС.8

СПЕЦИАЛЬНЫЕ СЛУЧАИ ЗАДАНИЯ УРАВНЕНИЙ ПРЯМОЙ ЛИНИИ.

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ В ОТРЕЗКАХ.

ЕСЛИ ПРЯМАЯ ЛИНИЯ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ , ЛЕЖАЩИЕ НА ОСЯХ ОУ И ОХ

СООТВЕТСТВЕННО, ТО УРАВНЕНИЕ (6) МОЖНО ПРЕОБРАЗОВАТЬ К ВИДУ

(8)

УРАВНЕНИЕ ТАКОГО ВИДА НАЗЫВАЮТ УРАВНЕНИЕМ ПРЯМОЙ В ОТРЕЗКАХ, ТАК КАК ПРЯМАЯ ЛИНИЯ ОТСЕКАЕТ НА ОСЯХ ОХ И ОУ ОТРЕЗКИ ДЛИНОЙ СООТВЕТСТВЕННО.

ВСЕ РАССМОТРЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ МОЖНО ПРЕОБРАЗОВАТЬ В УРАВНЕНИЕ

(9)

ПОЭТОМУ ЭТО УРАВНЕННИЕ НАЗЫВАЮТ ОБЩИМ УРАВНЕНИЕМ ПРЯМОЙ.

ПРИМЕР 5. ЗАПИСАТЬ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ В ВИДЕ : 1) ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ,