Числові характеристики неперервної системи двох випадкових величин

Знаючи диференціальні функції складових, можна знайти математичні сподівання та дисперсії:

Іноді зручніше використовувати формули, що містять диференціальну функцію системи (подвійні інтеграли беруться по області можливих значень системи):

Кореляційним моментом системи називають центральний момент порядку

Коефіцієнтом кореляції величин та називають відношення кореляційного моменту до добутку середніх квадратичних відхилень цих величин:

Коефіцієнт кореляції – безрозмірна величина, причому .

Коефіцієнт кореляції служить для оцінки тісноти л і н і й н о г о зв'язку між та : чим ближче абсолютна величина коефіцієнта кореляції до одиниці, тим зв'язок сильніше; чим ближче абсолютна величина коефіцієнта кореляції до нуля, тим зв'язок слабший.

Корельованими називають дві випадкові величини, якщо їх кореляційний момент відмінний від нуля.

Некорельованими називають дві випадкові величини, якщо їх кореляційний момент дорівнює нулю.

Частина 2. Елементи математичної статистики Розділ 1. Вибірковий метод Статистичний розподіл вибірки

Нехай для вивчення кількісної (дискретної чи неперервної) ознаки з генеральної сукупності витягнута вибірка , , , обсягу . Значення ознаки , що спостерігалися, називають варіантами, а послідовність варіант, записаних у зростаючому порядку, – варіаційним рядом.

Статистичним розподілом вибірки називають перелік варіант варіаційного ряду і відповідних їм частот (сума всіх частот дорівнює обсягу вибірки ) або відносних частот (сума всіх відносних частот дорівнює одиниці).

Статистичний розподіл вибірки можна задати також у вигляді послідовності інтервалів та відповідних їм частот (в якості частоти інтервалу приймають суму частот варіант, які потрапили в цей інтервал).

Емпірична функція розподілу

Емпіричною функцією розподілу (функцією розподілу вибірки) називають функцію , що визначає для кожного значення відносну частоту події :

де – число варіант, що менші ; – обсяг вибірки.

Емпірична функція має наступні властивості:

В л а с т и в і с т ь  1. Значення емпіричної функції належать відрізку ;

В л а с т и в і с т ь  2. – неспадна функція;

В л а с т и в і с т ь  3. Якщо – найменша варіанта, а – найбільша, то при і при .

Полігон та гістограма а. Дискретний розподіл ознаки

Полігоном частот називають ламану, відрізки якої з'єднують точки , , , , де – варіанти вибірки та – відповідні їм частоти.

Полігоном відносних частот називають ламану, відрізки якої з'єднують точки , , , , де – варіанти вибірки та – відповідні їм відносні частоти.

Б. Неперервний розподіл ознаки

При неперервному розподілі ознаки весь інтервал, в якому містяться всі спостережені значення ознаки, розбивають на ряд часткових інтервалів довжини і знаходять – суму частот варіант, які потрапили в інтервал. Гістограмою частот називають ступінчасту фігуру, яка складається з прямокутників, основами яких є частинні інтервали довжини , а висоти дорівнюють відношенню (щільність частоти). Площа часткового прямокутника дорівнює – сумі частот варіант, які потрапили в інтервал. Площа гістограми частот дорівнює сумі всіх частот, тобто обсягу вибірки .

Гістограмою відносних частот називають ступінчасту фігуру, яка складається з прямокутників, основами яких є частинні інтервали довжини , а висоти дорівнюють відношенню (щільність відносної частоти). Площа часткового прямокутника дорівнює – відносній частоті варіант, які потрапили в інтервал. Площа гістограми відносних частот дорівнює сумі всіх відносних частот, тобто одиниці.