Рівномірний розподіл

Рівномірним називають розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини , якщо на інтервалі , якому належать всі можливі значення , диференціальна функція зберігає стале значення, а саме ; поза межами цього інтервалу .

Нормальний розподіл

Нормальним називають розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини , якщо диференціальна функція має вигляд

де – математичне сподівання; – середнє квадратичне відхилення

Ймовірність того, що прийме значення, що належить інтервалу ,

де – функція Лапласа.

Ймовірність того, що абсолютна величина відхилення менше додатного числа ,

Зокрема, при справедлива рівність

Асиметрія, ексцес, мода та медіана нормального розподілу відповідно дорівнюють:

де .

Показовий розподіл та його числові характеристики

Показовим (експоненціальним) називають розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини , який описується диференціальною функцією

де – стала додатна величина.

Інтегральна функція показового розподілу

Ймовірність попадання в інтервал неперервної випадкової величини , розподіленої за показовим законом,

Математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення показового розподілу відповідно дорівнюють:

Таким чином, математичне сподівання та середнє квадратичне відхилення показового розподілу дорівнюють між собою.

Функція надійності

Елементом називають деякий пристрій, незалежно від того, «простий» він або «складний». Нехай елемент починає працювати в момент часу , а в момент відбувається відмова. Позначимо через неперервну випадкову величину – тривалість часу безвідмовної роботи елемента, а через – інтенсивність відмов (середнє число відмов за одиницю часу).

Часто тривалість часу безвідмовної роботи елемента має показовий розподіл, інтегральна функція якого

визначає й м о в і р н і с т ь в і д м о в и елемента за час тривалістю .

Функцією надійності називають функцію, що визначає й м о в і р н і с т ь б е з в і д м о в н о ї р о б о т и елемента за час тривалістю :

Розділ 3. Системи двох випадкових величин Закон розподілу двовимірної випадкової величини

Двовимірною називають випадкову величину , можливі значення якої є пари чисел . Складові та , що розглядаються одночасно, утворюють систему двох випадкових величин.

Двовимірну величину геометрично можна витлумачити як випадкову точку на площині , або як випадковий вектор .

Дискретною називають двовимірну величину, складові якої дискретні.

Неперервною називають двовимірну величину, складові якої неперервні.

Законом розподілу ймовірностей двовимірної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями та їх ймовірностями.

Закон розподілу дискретної двовимірної величини може бути заданий: а) у вигляді таблиці з подвійним входом, що містить можливі значення та їх ймовірності; б) аналітично, наприклад, у вигляді інтегральної функції.

Інтегральною функцією розподілу ймовірностей двовимірної випадкової величини називають функцію , що визначає для кожної пари чисел ймовірність того, що прийме значення, що менше , при цьому прийме значення, що менше :

Геометрично цю рівність можна витлумачити так: є ймовірність того, що випадкова точка потрапить в нескінченний квадрант з вершиною , розташований лівіше та нижче цієї вершини.

Часто замість терміна «інтегральна функція» використовують термін «функція розподілу».

Інтегральна функція має наступні властивості:

В л а с т и в і с т ь  1. Значення інтегральної функції задовольняють подвійній нерівності

В л а с т и в і с т ь  2. Інтегральна функція є неспадною функцією за кожним аргументом:

В л а с т и в і с т ь  3. Мають місце граничні співвідношення:

В л а с т и в і с т ь  4.

а) При інтегральна функція системи стає інтегральною функцією складової :

б) При інтегральна функція системи стає інтегральною функцією складової :

Використовуючи інтегральну функцію, можна знайти ймовірність попадання випадкової точки у прямокутник , :

Диференціальною функцією розподілу ймовірностей неперервної двовимірної випадкової величини називають другу змішану похідну від інтегральної функції:

Часто замість терміна «диференціальна функція» використовують термін «двовимірна щільність ймовірності».

Диференціальну функцію можна розглядати як границю відношення ймовірності попадання випадкової точки у прямокутник зі сторонами та до площі цього прямокутника, коли обидві його сторони прямують до нуля; геометрично її можна витлумачити як поверхню, яку називають поверхнею розподілу.

Знаючи диференціальну функцію, можна знайти інтегральну функцію за формулою

Ймовірність попадання випадкової точки в область визначається рівністю

Диференціальна функція має наступні властивості:

В л а с т и в і с т ь  1. Диференціальна функція невід'ємна:

В л а с т и в і с т ь  2. Подвійний невластивий інтеграл з нескінченними границями від диференціальної функції дорівнює одиниці:

Зокрема, якщо всі можливі значення належать кінцевій області , то