Числові характеристики дискретних випадкових величин

Характеристикою середнього значення випадкової величини є математичне сподівання.

Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називають суму добутків усіх її можливих значень на їх ймовірності:

Якщо випадкова величина приймає зліченну множину можливих значень, то

причому передбачається, що ряд, котрий знаходиться в правій частині рівності збігається абсолютно та сума всіх ймовірностей дорівнює одиниці.

Математичне сподівання має наступні властивості.

В л а с т и в і с т ь  1. Математичне сподівання сталої величини дорівнює самій сталій:

В л а с т и в і с т ь  2. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань доданків:

В л а с т и в і с т ь  3. Математичне сподівання добутку взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань співмножників:

В л а с т и в і с т ь  4. Математичне сподівання біноміального розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події в одному випробуванні:

Характеристиками розсіяння можливих значень випадкової величини навколо математичного сподівання є, зокрема, дисперсія та середнє квадратичне відхилення.

Дисперсією випадкової величини називають математичне сподівання квадрата відхилення:

Дисперсію зручно обчислювати за формулою:

Дисперсія має наступні властивості.

В л а с т и в і с т ь  1. Дисперсія сталої дорівнює нулю:

В л а с т и в і с т ь  2. Сталий множник можна виносити за знак дисперсії, попередньо піднісши його до квадрата:

В л а с т и в і с т ь  3. Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій доданків:

Дисперсія біноміального розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи та непояви події в одному випробуванні

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини називають квадратний корінь із дисперсії:

Теоретичні моменти

Початковим моментом порядку випадкової величини називають математичне сподівання величини :

Зокрема, початковий момент першого порядку дорівнює математичному сподіванню:

Центральним моментом порядку випадкової величини називають математичне сподівання величини :

Зокрема, центральний момент першого порядку дорівнює нулю:

центральний момент другого порядку дорівнює дисперсії:

Центральні моменти доцільно обчислювати, використовуючи формули, що виражають центральні моменти через початкові:

Закон великих чисел Нерівність Чебишева

Нерівність Чебишева. Ймовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного сподівання за абсолютною величиною менше додатного числа , не менше ніж :

Теорема Чебишева

Теорема Чебишева. Якщо послідовність попарно незалежних випадкових величин , , , , має скінченні математичні сподівання та дисперсії цих величин рівномірно обмежені (не перевищують сталого числа ), то середнє арифметичне випадкових величин збігається за ймовірністю до середнього арифметичного їх математичних сподівань, тобто якщо – будь-яке додатне число, то

Зокрема, середнє арифметичне послідовності попарно незалежних величин, дисперсії яких рівномірно обмежені і які мають одне і те ж математичне сподівання , збігається за ймовірністю до математичного сподівання , тобто якщо – будь-яке додатне число, то