Локальна та інтегральна теореми Лапласа

Локальна теорема Лапласа. Ймовірність того, що в незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює , подія настане рівно разів (байдуже, в якій послідовності), наближено дорівнює

Тут

Функція для додатних значень табульована (наведена у таблиці); для від’ємних значень користуються цією ж таблицею [функція парна, отже, ].

Інтегральна теорема Лапласа. Ймовірність того, що в незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність появи події дорівнює , подія настане не менше разів і не більше разів, наближено дорівнює

Тут

– функція Лапласа,

Функція Лапласа для додатних значень табульована (наведена у таблиці); для значень вважають для від’ємних значень користуються цією ж таблицею, враховуючи, що функція Лапласа непарна .

Відхилення відносної частоти від постійної ймовірності в незалежних випробуваннях

Оцінка відхилення відносної частоти від постійної ймовірності. Ймовірність того, що в незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює , абсолютна величина відхилення відносної частоти появи події від ймовірності появи події не перевищить додатного числа , наближено дорівнює подвоєній функції Лапласа при :

Найімовірніше число появ події в незалежних випробуваннях

Найімовірніше число настання події. Число (настання події в незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює ) називають найімовірнішим, якщо ймовірність того, що подія настане в цих випробуваннях разів, перевищує (або, принаймні, не менше) ймовірності інших, можливих результатів випробувань.

Найімовірніше число визначається з подвійної нерівності

причому:

а) якщо число – дробове, то існує одне найімовірніше число ;

б) якщо число – ціле, то існує два найімовірніших числа, а саме: і ;

в) якщо число – ціле, то найімовірніше число .

Розділ 2. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

ДИСКРЕТНІ ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини.

Закони біноміальний та Пуассона

Дискретною називають випадкову величину, можливі значення якої є окремі ізольовані числа (тобто між двома сусідніми можливими значеннями немає можливих значень), які ця величина приймає з певними ймовірностями. Іншими словами, можливі значення дискретної випадкової величини можна перенумерувати. Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути скінченним або нескінченним (в останньому випадку множину всіх можливих значень називають зліченною).

Законом розподілу (рядом розподілу) дискретної випадкової величини називають перелік її можливих значень та відповідних їм ймовірностей. Закон розподілу дискретної випадкової величини може бути заданий у вигляді таблиці, перший рядок якої містить можливі значення , а другий – імовірності :

де

Закон розподілу дискретної випадкової величини може бути також заданий аналітично (у вигляді формули):

або за допомогою інтегральної функції.

Закон розподілу дискретної випадкової величини можна зобразити графічно, для чого в прямокутній системі координат будують точки , , , ( – можливі значення , – відповідні ймовірності) та з'єднують їх відрізками прямих. Отриману фігуру називають багатокутником розподілу.

Біноміальним називають закон розподілу дискретної випадкової величини – числа появ події в незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює ; ймовірність можливого значення (числа появ події) обчислюють за формулою Бернуллі:

Якщо число випробувань велике, а ймовірність появи події у кожному випробуванні дуже мала, то користуються наближеною формулою

де – число появ події в незалежних випробуваннях, (середнє число появ події в випробуваннях) і кажуть, що випадкова величина розподілена за законом Пуассона.