Основні теореми Теореми додавання та множення ймовірностей

Теорема додавання ймовірностей несумісних подій. Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій, байдуже якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

Н а с л і д о к. Ймовірність появи однієї з декількох попарно несумісних подій, байдуже якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

Теорема додавання ймовірностей сумісних подій. Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи

Теорема може бути узагальнена на будь-яке скінченне число сумісних подій. Наприклад, для трьох сумісних подій:

Теорема множення ймовірностей незалежних подій. Ймовірність спільної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

Н а с л і д о к. Ймовірність появи кількох подій, незалежних у сукупності, дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

Теорема множення ймовірностей залежних подій. Ймовірність спільної появи двох залежних подій дорівнює добутку однієї з них на умовну ймовірність другої:

Н а с л і д о к. Ймовірність спільної появи кількох залежних подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовні ймовірності всіх інших, причому ймовірності кожної наступної події обчислюються в припущенні, що всі попередні події вже з'явилися:

де – ймовірність події , обчислена в припущенні, що події , , , настали.

Ймовірність появи хоча б однієї події

Нехай події , , , незалежні в сукупності, причому , , , ; нехай в результаті випробування можуть настати всі події, або частина з них, або жодна з них.

Ймовірність настання події , що полягає в появі хоча б однієї з подій , , , незалежних в сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій , , ,

Зокрема, якщо всі подій мають однакову ймовірність, що дорівнює , то ймовірність появи хоча б однієї з цих подій

Формула повної імовірності

Ймовірність події , яка може настати лише за умови появи однієї з несумісних подій (гіпотез) , , , , що утворюють повну групу подій, дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з гіпотез на відповідну умовну ймовірність події

де

Рівність називають «формулою повної ймовірності».

Формула Бейєса

Нехай подія може настати лише за умови появи однієї з несумісних подій (гіпотез) , , , , які утворюють повну групу подій. Якщо подія вже відбулася, то ймовірності гіпотез можуть бути переоцінені за формулами Бейєса

де

ПОВТОРЕННЯ ВИПРОБУВАНЬ

Формула Бернуллі

Якщо проводяться випробування, за якими імовірність появи події в кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань, то такі випробування називають незалежними відносно події . Розглядаються незалежні випробування, в кожному з яких ймовірність появи події однакова.

Формула Бернуллі. Ймовірність того, що в незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність появи події дорівнює , подія настане рівно разів (байдуже, в якій послідовності), дорівнює

або

де

Ймовірність того, що подія настане: а) менше разів; б) більше разів; в) не менше разів; г) не більше разів – знаходять відповідно за формулами: