3.3. Генераторы случайных чисел

Имитационное моделирование позволяет исследовать поведение системы с учетом влияния случайных факторов. Эти факторы, в зависимости от их природы, могут быть отражены в модели как случайные события, случайные величины, случайные функции.

Пример 1. Модель исследования надежности ВС. Отказ узла – случайное событие.

Пример 2. Модель оценки временных параметров процесса обслуживания клиентов в автомастерской. Интервал времени между появлениями клиентов описывается как случайная величина, распределенная по некоторому закону.

В основе всех методов и приемов моделирования случайных факторов лежит использование случайных величин, имеющих равномерное распределение на интервале (0,1) – ррсч(0,1) (равномерно распределенные случайные числа).

«Истинно» случайные числа формируются с помощью аналого-цифровых преобразователей (АЦП) на основе сигналов физических генераторов, использующих естественный источник случайных шумов (шум электронных и полупроводниковых устройств, радиоактивный распад и т.д.). При компьютерном моделировании можно воспользоваться электронным генератором шума, и снимать с него сигнал с помощью порогового органа.

Случайные числа, полученные одним из алгоритмических методов, не будут действительно случайными, поскольку получены в соответствии с четким и простым алгоритмом. Однако, применяя к такой выборке методы статистического анализа, можно видеть, что она в большинстве случаев обладает такими же свойствами, как и выборка действительно случайной величины.

Достоинством таких методов является их чисто программная реализация, недостатком — возможность получить "плохой" с вероятностной точки зрения генератор при неудачном подборе параметров.

Метод Середин квадратов. Свое название метод получил от арифметической операции возведения в квадрат, используемой при построении выборки. На самом деле, в процессе вычислений получается последовательность больших целых чисел, которым ставятся в соответствие числа из интервала (0,1). Генератор работает в 4k-разрядной сетке, где k — целое число.

Для получения последовательности необходимо задаться начальным числом-"затравкой" x₀ половинной разрядности (2k). Это число проще всего получить, прочитав показания часов реального времени компьютера. В выбранной разрядной сетке последовательность полностью определяется значением x₀. Для одинаковых x₀ всегда получается одна и та же последовательность.

На каждом шаге текущее целое число x_i возводится в квадрат (при этом получается число разрядности 4k), и из центральных 2k разрядов полученного квадрата формируется новое целое число x_i+1. Числа u_i в диапазоне (0,1) получаются делением x_i на число М=100...0 (2k нулей, число записано в той же разрядной сетке, что используется при генерации; очевидно, что M на 1 больше максимального числа, представимого в 2k-разрядной сетке).

Недостатком этого метода является возможность получить на очередном шаге генерации ноль, тогда все последующие числа в последовательности также будут нулевыми. Поэтому при программной реализации данного метода генерации необходимо всегда вводить "проверку на ноль" и при получении нуля считывать новую «затравку» с часов.

Метод Мультипликативного датчика. Генератор, построенный по методу мультипликативного датчика, тоже получает последовательность больших целых чисел и отображает ее в диапазон (0,1), и ему так же нужна «затравка» x₀. Последовательность получаемых чисел описывается формулами x_i+1 = (ax_i+b) mod M;

u_i = x_i/M;

где a, b, M, x_i — целые числа, u_i — вещественные числа в диапазоне от 0 до 1.

Для получения "хорошего" со статистической точки зрения распределения рекомендуется выбирать параметры M, a и b исходя из следующих соображений:

M — большое целое число, желательно простое;

a — целое число порядка корня квадратного из M, желательно простое, M не должно делиться на a;

a и M выбираются такими, чтобы их произведение не выходило за границы разрядной сетки используемых целых переменных;

b — целое число того же порядка, что и a.

Слагаемое b используется, чтобы устранить потенциальную опасность получения непрерывной последовательности нулей, начиная с определенного шага. Если M и a — простые числа, то такой опасности не существует (ax_i никогда не будет делиться на M).

Оба рассмотренных генератора основаны на получении последовательности целых чисел, причем каждое следующее число полностью определяется предыдущим числом (и параметрами генератора, которые в процессе счета не изменяются). Поэтому очевидно, что при большом количестве запусков генератора числа в последовательности после какого-то шага начнут повторяться. Очевидно, что из целых чисел, лежащих в диапазоне от 0 до (M-1), можно в лучшем случае сформировать последовательность, не содержащую повторов, длиной не более M.

Периодом генератора называют количество неповторяющихся чисел, которые генератор может сформировать при заданных параметрах и "затравке". Обычно период генератора получается меньше M. Генератор может считаться достаточно хорошим, если он обеспечивает период последовательности более M/4 для большинства "затравок".

Для определения периода генератора необходимо зафиксировать одно из целых чисел, полученных в результате работы процедуры генератора, и подсчитать количество вызовов процедуры генератора до того момента, когда в результате получится то же целое число, сгенерировав, таким образом, не менее M чисел. !!! Проводить проверку повторения вещественных чисел из диапазона [0,1) не следует.

Результаты имитационного моделирования существенно зависят от качества используемых генераторов случайных чисел. Поэтому они должны пройти тесты на пригодность. Таких тестов, как правило, три:

• совпадение оценки математического ожидания и дисперсии с мат. ожиданием и дисперсией равномерного распределения;

• оценка периодичности последовательности;

• оценка равномерности распределения (удовлетворение некоторому критерию, например, Пирсона).