Тема 1.5. Методика вивчення рівнянь, нерівностей та їх систем в курсі алгебри і початків аналізу.

Мета вивчення: Узагальнення та систематизація знань про рівняння, нерівності та їх системи, ознайомлення з можливими методичними підходами до вивчення даного матеріалу.

Обсяг навчального часу: 6 год.

Обладнання: шкільні підручники, програма, збірки задач, відео фрагмент уроку.

Основні питання :

1. Ірраціональні рівняння та нерівності.

2. Тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

3. Показникові і логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи.

Література:

1. Жовнір Я.М., Євдокимов В.І. 500 задач з методики викладання математики: Навч. посібник. –Х.: Основа, 1997. – 392 с.

2. Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. – Київ-Ірпінь: Перун, 2005. – 64 с.

3. Мерзляк А.Г., Неміровський Д.А., Полонський В.Б. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

4. Мерзляк А.Г., Неміровський Д.А., Полонський В.Б. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

5. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

6. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

7. Слєпкань З.І. Методика навчання математики. – К: Зодіак-ЕКО, 2000. – 512с.

8. Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 кл. загально-освіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2003. – 272 с.

9. Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2003. – 400 с.

Методичні поради з викладання теми:

Лінія рівнянь та нерівностей шкільного курсу математики Підходи до визначення поняття рівняння

Функціональний підхід

1. Рівнянням з одним невідомим називається рівність вигляду

2. Число називається коренем рівняння, якщо це число належить області допустимих значень невідомого і справедлива числова рівність

Предикативний підхід

Рівність, що містить невідоме число, називається рівнянням

• Значення невідомого числа, при підстановці якого в рівняння виходить вірна числова рівність, називається коренем рівняння

При будь-якому з підходів до визначення рівняння суть дії розв’язання рівняння трактується однаково: розв’язати рівняння – означає знайти всі його корені або довести, що їх немає.

Зв'язок поняття «рівняння» з поняттям «тотожність»

Рівняння називається тотожністю, якщо будь-яке число є його розв’язком.

Рівняння вигляду називається тотожністю, якщо множина розв’язків цього рівняння збігається з областю визначення даного рівняння

Основні тенденції вивчення рівнянь

• Більш раннє систематичне вивчення рівнянь (починаючи з початкової школи);

• Розширення об'єму і складності розвязування рівнянь молодшими школярами;

• Варіативна послідовності вивчення окремих питань лінії.

Два основних процеси, які супроводжують навчання

1. Поступове зростання класів рівнянь і нерівностей, прийомів їх розв’язання, перетворень.

2. Встановлення всіляких зв'язків між різними класами рівнянь, виявлення більш загальних класів, закріплення більш загальних прийомів перетворень, спрощення опису і обґрунтування розв’язку.

Сенс виділення основних класів рівнянь та нерівностей

За рахунок стандартизації форми завдання «загального вигляду» рівняння можна записувати відповіді формулою або привести простий опис дій, що приводять до розв’язку.

Вивчення кожного з класів має певне навантаження у формуванні поняття «розв’язання рівнянь», поступово збагачує алгоритмічний і евристичний досвід учнів.

Загальна ідея розв’язання довільного рівняння,

яке не є найпростішим рівнянням будь-якого типу

Розв’язання будь-якого рівняння здійснюється в два етапи:

1. Перетворення даного рівняння (нерівності) до простого вигляду – евристичний етап;

2. Розв’язання простого рівняння (нерівності) за відомими формулами, алгоритмами або правилами – алгоритмічний етап.

Загальний напрямок процесу формування загальних прийомів

розв’язку рівнянь та нерівностей

Організація в учнів знань і досвіду в єдину цілісну систему, що дозволяє розпізнавати можливості зведення складніших рівнянь до простих відомих типів.

Формування вмінь визначати спосіб розв’язання рівняння.

• Для групи рівнянь вказати можливий спосіб розв’язання (самі розв’язки не приводити);

• Після попереднього аналізу зовнішнього вигляду рівняння і способу розв’язку розв’язати рівняння.

Основні прийоми перетворення рівнянь.

1. Розкриття дужок;

2. Перенесення доданків;

3. Приведення подібних доданків;

4. Множення обох частин рівняння на вираз або число, відмінне від нуля;

5. Піднесення до степеня.

Основні методи розв’язання рівнянь

1. Розкладання на множники;

2. Заміна змінних;

3. Зведення до системи рівнянь і нерівностей;

4. Функціональний;

5. Графічний.

З точки зору діяльнісного підходу до навчання саме на формування узагальнених прийомів розв’язання рівнянь і слід звернути увагу.

Основні прийоми розв’язання рівнянь та нерівностей,

які формуються в шкільному курсі математики.

5-6 клас.

• Узагальнений прийом розв’язання рівнянь першого степеня з однією змінною.

• Узагальнений прийом розв’язання рівнянь з модулем.

7-9 клас

• Узагальнений прийом розв’язання нерівностей першого степеня з однієї змінної і їх систем.

• Узагальнений прийом розв’язання рівнянь і нерівностей другого степеня з однією змінною.

• Узагальнений прийом розв’язання раціональних рівнянь з однією змінною.

• Узагальнений прийом розв’язання раціонально - дробових рівнянь з однією змінною.

• Узагальнений прийом розв’язання ірраціональних рівнянь з однією змінною.

10-11 клас

• Узагальнений прийом розв’язання ірраціональних нерівностей з однією змінною.

• Узагальнений прийом розв’язання показникових рівнянь і нерівностей.

• Узагальнений прийом розв’язання логарифмічних рівнянь і нерівностей.

• Узагальнений прийом розв’язання тригонометричних рівнянь і нерівностей.