Тема 3.1. Елементи комбінаторики в шкільному курсі математики. Біном Ньютона.

Мета вивчення: Сформувати у студентів уміння методичного характеру, пов’язані з навчанням елементам комбінаторики.

Обсяг навчального часу: 2 год.

Обладнання: шкільні підручники, програма, збірки задач, відео фрагмент уроку.

Основні питання :

1. Множини та операції над ними.

2. Сполуки без повторень. Формули для обчислення їх кількості.

3. Методичні особливості навчання учнів розв’язуванню комбінаторних задач.

Література:

1. Виленкин Н.Я. Комбинаторика.– М.: Наука, 1969. – 328 с.

2. Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. – Київ-Ірпінь: Перун, 2005. – 64 с.

3. Мерзляк А.Г., Неміровський Д.А., Полонський В.Б. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

4. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

5. Слєпкань З.І. Методика навчання математики. – К: Зодіак-ЕКО, 2000. – 512с.

6. Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2003. – 400 с.

Методичні поради з викладання теми:

Задачі комбінаторного характеру виявляються досить складними для великої кількості учнів, причинами цього є:

1. комбінаторні задачі є текстовими, тому частина учнів часто не розуміє про що йдеться в задачі і що вимагається;

2. розв’язання задач, як правило, містять тільки формулу, за якою проводиться обчислення, тому повертаючись до задачі через певний час учні не розуміють, чому саме вибраний такий підхід;

3. часто навпаки, задачі здаються такими прозорими, що це штовхає учнів на просте вгадування відповіді.

При пошуках розв’язку задач, в записах цих розв’язань доцільно використовувати такі підходи:

1. Аналіз задачі має бути завершеним чітким уявленням про те, що вимагає зробити умова задачі і як краще інтерпретувати отримання результату, щоб спростити підрахунки. Так розбиття на дві рівні групи краще інтерпретувати як вибір однієї групи (8 чоловік із 16), після цього чітко треба виділити послідовність дій, яка дозволяє отримати результат, а саме перша дія – вибір двох чоловік із 4 та 6 із 12.

2. При підборі задач треба обирати в окремих випадках таку послідовність задач, яка дозволяла б учням аналізувати схожі ситуації, але відмінні з точки зору комбінаторики. Задача про кількість розсадки 6 людей за круглим столом може бути підготовлена задачею про розсадку такої ж кількості людей на прямолінійній лавочці і узагальненим розглядом задачі про кількість намист, які можна отримати з такої ж кількості намистинок.

Зате розв’язання комбінаторних задач обов’язково має супроводжуватись необхідними поясненнями. Такі пояснення є обов’язковими для усіх видів робіт.

Дуже цінним в процесі розв’язування комбінаторних задач є можливість більшість задач розв’язати кількома способами. Це треба плідно використовувати.

План проведення практичного заняття №16 ( 2 год.):

1. Охарактеризувати переваги і недоліки різних підходів до введення елементів комбінаторики у шкільний курс математики.

2. Дати характеристику можливостям використання комбінаторних правил множення та додавання у шкільному курсі. Навести приклади задач, що розв’язуються з їх допомогою.

3. Навести різні способи обґрунтування формул для обчислення числа перестановок, розміщень, комбінацій без повторень.

4. Ознайомитись з коментарями до розв’язання комбінаторних задач у підручнику [4]. Запропонувати схему вибору виду сполуки та відповідної формули в процесі розв’язання комбінаторної задачі.

5. Знайти і виправити у тексті підручника наявні помилки [6, с. 335]

6. Описати методику роботи над задачами

1. Знайти кількість парних трицифрових чисел, які можна записати цифрами 0, 1, 2, 3?

2. Скільки чотиризначних чисел можна записати цифрами 0,1,2,3, не повторюю їх?

3. Студенту треба скласти 4 екзамени протягом 8 днів. Скількома способами може бути складений його розклад, якщо в один день він може складати тільки один екзамен?

4. Скільки різних прямих можна провести через 10 точок площини, ніякі три з яких не належать одній прямій?

5. У лотереї розігруються 5 предметів. Перший, хто підходить до урни, виймає 5 білетів. Яким числом способів він може їх вийняти, щоб виграшних виявилось не менше трьох, якщо в урні 100 білетів?

6. Збори, на яких були присутні 30 чоловік, в тому числі 5 жінок, обирають 6 співробітників для роботи на виборчій дільниці. Скільки існує варіантів вибору, якщо серед обраних має бути не менше, ніж 3 жінки?

7. 16 туристів розділились на дві рівні трупи для пошуку товариша, який загубився. Серед них тільки 4 тих, хто добре знайомий с місцевістю. Яким числом способів вони можуть розділитись так, щоб в кожну групу увійшло 2 туристи, що знають місцевість.

8. Скількома способами можна розставити на полиці 12 книг, з яких 5 книг – збірки віршів так, щоб збірки віршів стояли поруч у довільному порядку?

9. На вечорі відпочинку присутні 12 дівчат і 15 юнаків. Скількома способами можна обрати з них 4 пари для конкурсу?

10. На кожному борту човна сидять по 4 особи. Скількома способами можна вибрати команду для цього човна, якщо є 31 кандидат, причому 10 чоловік хочуть сидіти на лівому борту, 12 – на правому, а для 9 однаково, де сидіти?

11. Розв’язати рівняння: 1) А_х² =42; 2) С_х-3²=21; 3)

12. Знайти розклад степеня бінома: 1) (х + а)⁶; 2)

13. Знайти член розкладу бінома , що не містить а.