Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Державний вищий навчальний заклад

«Донбаський державний педагогічний університет»

Кафедра геометрії та методики викладання математики

Інструктивно-методичні матеріали

до практичних (семінарських, лабораторних) занять

із навчальної дисципліни

МЕТОДИКА НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ

(шифр і назва навчальної дисципліни)

спеціальність 804020101 «Математика*»

(шифр і назва напряму підготовки)

факультет фізико-математичний

(назва факультету, відділення)

Розроблені:

кандидат пед. наук, доцент кафедри ГМВМ ДДПУ Н. І. Труш___

кандидат пед. наук, доцент кафедри ГМВМ ДДПУ Б. Б. Беседін______________

(науковий ступінь, учене звання, П.І.Б.)

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ І. Методика розвитку основних алгебраїчних змістово-методичних ліній у старшій школі

Тема 1.2. Розвиток поняття про число в старшій школі.

Мета вивчення: Узагальнити і систематизувати знання про числові множини та методику їх вивчення у старшій школі.

Обсяг навчального часу: 2 год.

Обладнання: шкільні підручники, програма, збірки задач, відео фрагмент уроку.

Основні питання :

1. Модуль числа та його властивості.

2. Корінь n-го степеня, його властивості, дії з радикалами.

3. Раціональний та ірраціональний степінь числа.

4. Методика введення поняття логарифма числа та його властивостей.

Література:

1. Жовнір Я.М., Євдокимов В.І. 500 задач з методики викладання математики: Навч. посібник. –Х.: Основа, 1997. – 392 с.

2. Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. – Київ-Ірпінь: Перун, 2005. – 64 с.

3. Математика. Програми для загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Навчальна книга, 2003. – 302 с.

4. Мерзляк А.Г., Неміровський Д.А., Полонський В.Б. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

5. Мерзляк А.Г., Неміровський Д.А., Полонський В.Б. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

6. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

7. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

8. Слєпкань З.І. Методика навчання математики. – К: Зодіак-ЕКО, 2000. – 512с.

9. Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 кл. загально-освіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2003. – 272 с.

10. Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2003. – 400 с.

Методичні поради з викладання теми:

Розглянути будову числової лінії шкільного курсу математики за планом

1. Числова лінія шкільного курсу математики як система.

2. Методичні особливості викладання окремих тем числової лінії

Система – сукупність елементів, що знаходяться в стосунках і зв'язках між собою і створюючих певну цілісність.

Структура – будова і внутрішня форма організації системи, виступаюча як єдність стійких взаємозв'язків між її елементами.

Числова лінія

Елементи: числа, організовані в рівні по окремій числовій множині.

В нутрішні зв’язки.

• Горизонтальні

• відношеня:

• округлення,

• дія,

• їх закони і властивості

Зовнішні зв'язки – зв'язки з іншими лініями.

Схеми розвитку поняття числа

• Історична:

• N N ₀ Q ⁺ Q R

• Логічна:

• N N ₀ Z Q R

Системно-структурний аналіз.

1. Загальне поняття числа в більшості технологій не розглядається.

• Під натуральним числом розуміється якийсь символ, що характеризує клас еквівалентних між собою множин, між елементами яких можна встановити взаємно-однозначну відповідність, тобто символ, що позначає потужність не порожньої скінченної множини.

2. Числа вводяться для різних потреб:

• натуральні – через необхідність перераховувати предмети;

• від’ємні – для позначення велічини або її виміру;

• дроби – через поняття долі;

• ірраціональні через розв’язування рівнянь;

• дійсні – через встановлення відповідності.

Таким чином, загальної ідеї немає, вертикальні зв'язки відсутні.

3. Базовою дією, яка вводиться без означення, є додавання натуральних чисел.

• Останні операції для множин Z і Q визначаються, але вводяться по-різному, а для множин Q \R і R не вводяться і не розглядаються. Питання про виконуваність операцій не ставиться, оскільки немає потреби.

Таким чином, цілісність порушується.

Загальний висновок: з точки зору системності в розгортанні числової лінії є ряд істотних недоліків

Можливі варіанти для загальної ідеї розгортання числової лінії:

• Розв’язування рівнянь (вертикальний зв'язок)

• Виконуваність дій (горизонтальний зв'язок)

Принцип спільності розв’язування типових завдань

Якщо на одній з множин типове завдання розв’язується якою-небудь дією і її дані можуть виражатися числами, що належать іншій множині, то і на цій іншій множині завдання повинне розв’язуватися тією ж дією.

Принцип змінності і мінімальності для розширення числової множини.

Якщо множина А розширюється до множини В, то:

• А має бути підмножиною В;

• Всі операції, визначені в А, мають бути визначені і у В, причому при їх виконанні для елементів безлічі А повинні виходити колишні результати;

• Всі властивості операцій, що мали місце в А, повинні виконуватися і у В;

• У множині В виконується яка-небудь операція, що не виконується в А;

• Множина В – мінімальна, що задовольняє попереднім властивостям.

Способи побудови множини В
Множина В будується незалежно від А, а потім в нім виділяється підмножина, ізоморфна А, і ототожнюється з А	Множина А доповнюється новими елементами, внаслідок чого виходить нова множина В

Деякі методичні особливості вивчення натуральних чисел

• Вивчення починається в початковій школі, в 5 класі здійснюється систематизація знань

• Систематизація йде з опорою на позиційне представлення числа. З метою виділення істотних ознак позиційних систем числення доцільно розглянути недесяткові і непозиційні системи

• Посилюється роль теоретичних обгрунтувань, що виявляється в поєднанні методів індукції і дедукції

Приклад поєднання методів індукції і дедукції

Додавання багатозначних чисел «стовпчиком» обгрунтовується таким чином:

• Пропонується конкретний приклад: 345 + 623

• Кожен доданок розкладається по розрядах: (300 + 40+ 5) + +(600 + 20 + 3)

• Застосовуються переставний і сполучний закони додавання: (300 + 600) + (40 + 20) + (5 +3)

• Виконуються дії 900 + 60 +8 = 968

• Далі робиться висновок, що суму багатозначних чисел можна отримати додаючи їх порозрядно, а додавання «стовпчиком» є короткий запис такого способу додавання:

345

623

968

• Міркування проводяться на основі прикладу, тому вони індуктивні;

• Посилання на закони додавання усередині цього прикладу є дедуктивними проявами/

Деякі методичні особливості вивчення дробових чисел

• Перше знайомство з дробовими числами відбувається в початковій школі, але систематичне вивчення починається в 5 класі

• Дробові числа вводяться через поняття «долі»

• Важливе значення має питання мотивації для введення дробових чисел.

• Існують три прийоми для мотивації: вимірювання величини; розв’язування рівнянь; виконуваність дій.

• Існує методична проблема порядку вивчення десяткових і звичайних дробів: які з них вивчати першими?

• Є три підходи до вирішення цієї проблеми, які з методичної точки зору рівноправні.

Підходи до проблеми порядку вивчення десяткових і звичайних дробів

1. Вивчаються спочатку звичайні дроби, а потім десяткові. Обгрунтування: десяткові дроби є формою запису дробів з певним виглядом знаменників.

2. Вивчаються спочатку десяткові дроби, потім звичайні. Обгрунтування: у десяткових дробах зберігається ідея позиційності, що дає можливість перенесення відомих способів дій з натуральними числами на нові об'єкти, і вони зручніші в обчисленнях.

3. Вивчення звичайних і десяткових дробів чергується. Обгрунтування: звичайні дроби більш універсальні, але десяткова форма дробів простіша для вивчення.

Деякі методичні особливості вивчення дробових чисел

• Особливе значення має розрізнення суті понять «дріб», «дробове число», «змішане число» .

Дріб – форма запису як цілих, так і не цілих чисел, причому будь-яке число можна записати за допомогою різних дробів.

Змішане число – форма запису дробових чисел, модуль яких більший за одиницю.

Деякі методичні особливості вивчення від’ємних чисел

• Для збереження системності у викладі змісту числової лінії необхідно спиратися на всі три прийоми для мотивації введення нових чисел, але пріоритетним напрямом слід розглядати ідею виконуваності дій.

• Є методична складність в обгрунтуванні доцільності введення правил дій з від’ємними числами, оскільки складно підібрати сюжетну фабулу завдання для використання принципу спільності розв’язання типових завдань. Таким завданням може бути завдання про зміну температури повітря або рівня води в річці

• Особливістю вивчення правил дій є і те, що для кожної арифметичної дії є декілька правил їх виконання.

• Вироблення правильних алгоритмів дій – важливий момент методики.

Слід звернути увагу учнів, що результат дії – число, що характеризується знаком і модулем, тому при виконанні дій

1. спочатку знаходимо знак шуканого числа,

2. потім модуль шуканого числа.

Деякі методичні особливості вивчення ірраціональних чисел

• Для практичних обчислень множини раціональних чисел вистачає. Необхідність вивчення дійсних чисел більшою мірою викликається потребами самої математики (наприклад, побудова графіків суцільною лінією);

• Головна трудність – жодна теорія дійсного числа не може бути викладена в шкільному курсі математики навіть у старших класах через високу міру абстрактності, а потреби математики вимагають більш раннього введення поняття ірраціональних чисел;

• Основою для введення ірраціональних чисел служить одне із завдань:

  • Завдання про вимірювання відрізків,

  • Завдання про добування кореня.

• Необхідно відзначити, що існують ірраціональні числа, які не можна отримати добуванням кореня, тому ірраціональне число визначається як нескінченний неперіодичний десятковий дріб.

• Більшість питань, пов'язаних з вивченням ірраціональних чисел, розглядаються на рівні наочних уявлень.

• Роз’яснити арифметичний сенс навіть основних операцій дуже непросто, тому їм часто дається геометрична, наочна інтерпретація. Наприклад, для суми через побудову відрізка, рівного сумі двох інших відрізків, а для множення – через обчислення площі прямокутника;

Вивчення комплексних чисел.

• Вивчення комплексних чисел не входить у програми базових курсів шкільної математики, але включено в програми профільних фізико-математичних класів.

План проведення практичного заняття №1 ( 2 год.):

1. Опрацювати тему «Модуль дійсного числа та його властивості» за підручником М.І.Шкіль Алгебра та початки аналізу.

2. Опрацювати тему «Модуль дійсного числа та його властивості» за підручником Є.П.Нелін Алгебра та початки аналізу.

3. Порівняти підходи обрані в двох підручниках.

4. Переглянути представлений урок. Зробити його аналіз. (Відео фрагмент додається у електронному варіанті)

5. Розв’язання рівнянь, що містять вирази під знаком модуль

З аміна:

немає розвязків

Розв’язати рівняння та описати методику їх розв’язання:

6. Розв’язання нерівностей, що містять вирази під знаком модуль

розв’язок це все

розв’язків не має

розв’язують методом інтервалів: 1) визначають область допустимих значень невідомої x; 2) знаходять значення невідомої , , :, , при яких вирази, що стоять під знаком модуля, обертаються в 0; 3) наносять всі xi з ОДЗ на числову пряму, розділивши її на i + 1 проміжків; 4) на кожному з i + 1 проміжків розкривають кожен модуль за правилом розкриття модуля; 5) розв’язують i + 1 рівняння, у відповідь виписують об'єднання всіх розв’язків рівнянь.

Розв’язати нерівності та описати методику їх розв’язання: