4.2 Годографи пружних хвиль та їхні властивості

4.1. Поверхневі годографи пружних хвиль

У сейсмічних методах розвідки велике значення має вивчення часу розповсюдження фронтів або фазових поверхонь різних хвиль, штучно збуджених у гірських породах за допомогою різних джерел. Найбільший інтерес являє вивчення часу приходу відбитих, заломлених та дифрагованих хвиль до земної поверхні залежно від розташування у просторі границь розділу, що породжують ці хвилі (глибина залягання, напрям і кут падіння, криволінійність і т. п.). Знайдені закономірності у подальшому використовуються з метою визначення положення у просторі (або у його плоских перетинах) відбивальних границь, границь розділу гірських порід, що заломлюють та дифрагують, швидкостей розповсюдження пружних хвиль у товщах, які зверху покривають. Ці залежності називають кінематичними, тобто пов’язаними з вивченням руху фронтів хвиль (аналогічно з рухом тіл у механіці).

Розглянемо у якості вихідного випадку прихід до земної поверхні пружної хвилі, що відбилась від однієї границі розділу, яка довільно лежить у просторі.

У точці О земної поверхні G (рисунок , а) довільної форми знаходиться джерело пружних хвиль. Рахуватимемо цю точку за початок просторової системи прямокутних координат.

Рисунок . Розташування земної та відбивальної поверхні у просторі (а), поверхневий годограф відбитої хвилі та його перетин горизонтальними площинами з параметрами t_n (б), ізохрони поверхневого годографа відбитої хвилі з параметрами t_n на денній поверхні (в).

Вісі x та y знаходяться у горизонтальній площині, що проходить через точку О вертикально униз. Положення будь-яких інших точок на денній або відбивальній поверхні (наприклад, точки P на рисунку , а) можна визначити їхніми координатами x, y, та H.

У момент часу t=0 джерелом О збуджена пружна хвиля. Після відбиття від деякої поверхні Q у товщі гірських порід, ця хвиля повернеться назад до земної поверхні і досягне різних її точок у різні моменти часу t. Залежність між часом пробігу хвилі t і координатами x, y та H точок спостережень P називають годографами. Аналітичне представлення залежності називають рівнянням годографа. Коли час пробігу хвиль виміряний у багатьох точках земної поверхні, розташованих на різних відстанях і у різних напрямках від джерела, то отриманий годограф називають поверхневим. Якщо спостереження проводились на декотрих лініях (прямих), розташованих на земній поверхні то отриманий годограф називають лінійним. Якщо лінія спостереження проходила через джерело (точку О), то такий лінійний годограф називають повздовжнім. Якщо лінія спостереження не проходить через джерело, то отримують неповздовжній або поперечний годограф. Лінію спостережень у сейсморозвідці називають профілем. Тому розрізняють повздовжні сейсмічні профілі.

Поверхневий годограф пружної хвилі з вісями координат x, y та t (вісь t по аналогії з віссю H будемо спрямовувати вниз) буде утворювати у просторі деяку поверхню (рисунок , б). Постільки оперувати з просторовими поверхнями складно, поверхневий годограф можна зобразити на земній поверхні у вигляді сімейства ізохрон з параметром t (рисунок , в). Ізохрона являє собою криву, що з’єднує точки земної поверхні, який пружна хвиля досягла у один і той же час t. Побудовані у різні моменти часу (через рівні інтервали t) ізохрони утворюють сімейство. Сімейство ізохрон являє собою проекції на земну поверхню перетинів поверхневого годографа пружної хвилі горизонтальними площинами, перпендикулярними до вісі t та такими, що відповідають різним значенням часу (t₁, t₂, t₃ та т. п.).

Припустимо, що земна поверхня плоска і горизонтальна, а границя відбиття плоска, але не горизонтальна (рисунок , а).

Рисунок . Положення плоских земної та відбивальної поверхонь у просторі (а) та зв’язок (б) поверхневих годографів прямих П, поверхневих R та відбитих О хвиль.

Середовище між земною та відбивальною поверхнями є однорідне, ізотропне та характеризується швидкістю розповсюдження повздовжніх пружних хвильV₁.

Розглянемо особливості поверхневих годографів прямих П, релєєвих поверхневих R та відбитих О (початок координат ) у будь-яку точку P на земній поверхні з координатами x та y,

(2.1.11.).

Час пробігу t_R поверхневої хвилі Релея з точки О у точку Р

(2.1.12),

де V_R – швидкість розповсюдження поверхневої хвилі Релея вздовж земної поверхні.

У проектних вісях координат x, y, t залежності t_P та t_R від x та y будуть являти собою поверхні конусів з вершинами у точці О та віссю обертання, що співпадає з віссю Ot. Через те що швидкість V₁ та V_R різні (V₁>V_R), твірна цих конусів буде мати різні нахили відносно вісі Ot. Поверхневий годограф О хвиль Релея більш вузький (V_R<V₁), а годограф прямих хвиль більш широкий (V₁>V_R). Положення у просторі поверхневих годографів прямих П та релєєвих поверхневих R хвиль схематично зображено на рисунку , б, на рисунку , а – сімейство ізохрон поверхневого годографа прямих хвиль на площині xOy. Це сімейство концентричних кіл з центром у джерелі О.

Рисунок .Сімейство ізохрон поверхневих годографів прямих (а) та відбитих (б) хвиль, зображених на рисунку . Для поверхневих хвиль Релея сімейство ізохрон буде мати аналогічний вигляд. Змінюються (зменшуються) лише радіуси ізохрон, постільки V_R<V₁. З спостереженого сімейства ізохрон прямих або поверхневих хвиль Релея легко визначити швидкість їхнього розповсюдження вздовж земної поверхні як частка від ділення радіусу ізохрон на її параметр t або найкоротшої відстані між двома ізохронами на різницю їхніх параметрів.

Виведемо рівняння поверхневого годографа повздовжньої відбитої хвилі, що виходить з джерела О та відбилась у плоскій поверхні розділу Q, та повернулась назад до плоскої та горизонтальної денної поверхні G.

Положення (дивіться рисунок , а) відбивальної площини Q у просторовій системі координат x, y, H повністю визначається координатами x₀, y₀ та H₀ точки О, яка є дзеркальним відображенням джерела О (точка координат) у відбивальній площині Q. Лінія ОО перпендикулярна до площини Q та перетинає її у точці О. Відрізок ОО дорівнює глибині h залягання відбивальної площини під джерелом (вимірюється нормаллю до відбивальної поверхні). Перпендикуляр, з точки О на земну поверхню G, перерахунок її у точці О з координатами x₀ та y₀ (типи, що і у точці О). Точка О є точкою перетину цього перпендикуляра з відбивальною площиною Q. Пряма О О визначає напрямок падіння відбивальної площини (перпендикулярне їй напрямок є напрямком простягання відбивальної площини). Кут між прямими ОО та О О дорівнює істинному куту падіння відбивальної поверхні відносно вісі Ox. Між елементами , , h залягання відбивальної площини і координатами x₀, y₀, H₀ точки О існує співвідношення:

(2.1.13.),

(2.1.14.),

(2.1.15.).

Візьмемо на земній поверхні (на площині Q) довільну точку P з координатами x та y (рисунок , а). Обчислимо час пробігу повздовжньої відбитої хвилі від джерела О у точку P. Ця хвиля здійснить шлях ORP, що дорівнює відрізку ОP. Сейсмічний промінь ORP розповсюджується у площині ОООRP, яка є перпендикулярною до відбивальної поверхні, яка є перпендикулярною до відбивальної поверхні, але не перпендикулярною до плоскої земної поверхні G. Плоским земній та відбивальній поверхням перпендикулярною одночасно лише площина ООООО, яка перетинає земну поверхню вздовж направлення падіння або підняття відбивальної площини, тобто в хрест її простягання. Час пробігу відбитої хвилі з точки О у точку P

(2.1.16.).

Відрізок OP легко виразити через координати точок О та P

(2.1.17).

Тому

(2.1.18.).

У вісях координат x, y, t поверхневий годограф відбитої хвилі, являє собою поверхню гіперболоїда обертання. Вісь його обертання паралельна вісі Ot та зміщена у напрямку підняття відбивальної поверхні у точку з координатами x₀ та y₀. У точці земної поверхні з цими координатами час пробігу відбитої хвилі мінімальний

(2.1.19.).

У точку з координатами х=1 та у=0 (назад у джерело О) відбита хвиля прийде через відрізок часу

(2.1.20).

Промінь, який пройшов шлях ООО, називають центральним променем (або нормальним), тому що він впав на відбиту площину у перпендикулярному до неї напрямку і цим же шляхом повернувся назад у точку О. Сімейство ізохрон поверхневого годографа відбитих хвиль зображено на рисунку , б і являє собою сімейство кіл з центром у точці О (з координатами x₀ та y₀).

Зв’язок поверхневого годографа відбитої хвилі з поверхневими годографами прямих і поверхневих хвиль Релея схематично зображено на рисунку , б. Поверхневий годограф релеєвої хвилі буде перетинатись з поверхневим годографом відбитої хвилі не перетинається. Для останнього перший є асимптотичною поверхнею.