IV. Фізичні і геологічні основи сейсморозвідки

Пружні хвилі у безмежному середовищі

Усі тіла. коли до них прикладають сили (напругу), змінюють розташування по відношенню одна до одної частинок, що їх складають, тобто змінюють свій об’єм та форму (деформуються). Абсолютно пружними називають тіла, деформації яких прямо пропорційні напрузі, що їх викликали, а також такі тіла, які відновлюють свою початкову форму одразу ж після зняття напруги. Деформації у таких тілах називають пружними. Якщо після припинення дії напруги тіло зберігає нову форму або тільки поступово повертається до початкової форми, то його називають пластичним або неабсолютно пружним. Деформації у таких тілах називають пластичними.

У більшості твердих тіл, у тому числі і гірських породах, під дією прикладених сил відбуваються як пружні. так і пластичні деформації. Залежно від значення і характеру прикладених сил відбуваються і стану речовини тіла воно може бути під впливом переважно або пружних, або пластичних деформацій. Коли зовнішні сили незначні та діють короткочасно, більшість твердих тіл поводять себе як абсолютно пружні.

Уявимо собі безмежно абсолютно пружне середовище (тверде тіло). Нехай до деякої внутрішньої його точки приклали короткочасну напругу. Під її дією частинки тіла змінюють своє розташування. зміщуються відносно того місця, яке вони займали раніше. Зміщення однієї частинки викликає зміщення сусідніх, і поступово у процес деформації втягуються ділянки середовища, розташовані усе далі від джерела напруги. Коли змінюється напруга частинки середовища відновлюють своє початкове положення. З часом область, в межах якої частинки середовища повернулись до свого початкового стану, все більше розширюється на всі боки від точки прикладення напруги, що викликала пружні деформації середовища. Деформації, що розповсюджуються у середовищі, мають назву пружних хвиль. Пружна хвиля, яка розповсюджується у повітрі, зветься звуковою або акустичною; пружна хвиля у гірських породах – сейсмічною. Поверхня, що ділить область середовища, у якій процес деформації ще не розпочався, від області середовища, в якій він відбувається, називають середнім фронтом пружної хвилі. Поверхня, що ділить область середовища, у якій відбувається процес деформації, від областей середовища, у яких він вже закінчився, має назву заднього фронту або тилом хвилі.

У теорії розповсюдження пружніх хвиль показують, що під впливом напруги у безмежному пружному середовищі можуть виникати та розповсюджуватись пружні хвилі двох незалежних типів. До першого типу належать пружні хвилі, за фронтом яких відбуваються зміни елементарних об’ємів речовин за рахунок їхнього стискання або проріджування. Іншим типом є хвилі, за фронтом яких не відбувається стискань або проріджувань речовин, а спостерігаються незначні зрушення та повороти елементарних об’ємів речовин, які викликають зміну їхньої форми за рахунок зміщення частинок речовини у напрямку, перпендикулярному до напрямку розповсюдження фронту хвилі. Ці хвилі дістали назву поперечних. Іноді їх називають хвилями зрушень. У сейсмології та у сейсморозвідці повздовжні хвилі позначають літерою P, а поперечні хвилі – літерою S.

Швидкості розповсюдження повздовжніх хвиль V_p та поперечних V_s хвиль у однорідному середовищі є різними та залежать від його густини ρ та пружних постійних (сталих) Е та μ. Стала Е має назву модуля Юнга, а стала μ – коефіцієнтом Пуасона. Модуль Юнга чисельно дорівнює напрузі, прикладеної до торців бруса, який розтягується та виготовлений з пружного матеріалу, завдяки якому початкова довжина бруса під деформацією (розтягуванням) збільшується вдвічі. Коефіцієнт Пуасона дорівнює відношенню поперечного стискання бруса до його повздовжнього розтягування. Модуль Юнга має розмірність напруги, тобто сили, яка віднесена до одиниці площі поперечного перерізу бруска. Коефіцієнт Пуасона – безрозмірна величина (<0,5).

Швидкості розповсюдження повздовжніх V_p та поперечних V_s пружних хвиль можна виразити через параметри ρ,Е та μ:

, (1)

. (1.1)

Для відношення V_p до V_s існує вираз

. (1.2)

З останнього виразу видно, що швидкість розповсюдження повздовжніх пружних хвиль завжди є більшою ніж швидкості розповсюдження поперечних пружних хвиль і відношення цих швидкостей визначається коефіцієнтом Пуасона середовища, у якому розповсюджуються хвилі. З цього рівняння легко отримати вираз:

. (1.3)

У рідких та газоподібних середовищах виникають та розповсюджуються тільки лише повздовжні пружні хвилі. Поперечні пружні хвилі в цих середовищах не виникають. Тому що рідини та гази не чинять ніякого опору зміні своєї форми за рахунок повороту частинок. з яких вони складені. У них відсутні деформації зсуву.

Припустимо, що у безмежному, однорідному. ізотропному (пружні властивості якого сталі по всім напрямкам), абсолютно пружному середовищі знаходиться джерело, яке має вигляд сферичної порожнини з радіусом R та центром у точці О, до поверхні якої прикладений радіальний тиск p, що змінюється з часом t за згасаючим синусоїдальним законом (рис). Викликані цим тиском розширення та стискування порожнини призведуть до стискування та

Рисунок 1 - Сферичне джерело пружної хвилі (а), тиск, в якому змінюється по закону затухаючої синусоїди (б).

проріджування навколишніх частинок середовища та виникненню у середовищі пружної хвилі. Внаслідок сферичної симетрії джерела у середовищі виникають та розповсюджуються повздовжні пружні хвилі, чий фронт буде являти собою сферичну поверхню. У кожний момент часу t у всіх точках, що лежать на сфері радіусом r, зміщення частинок буде мати одну і ту ж абсолютну величину і направлені радіально (у напрямку прямих. Які проходять через центр О порожнини джерела). Таку хвилю називають сферичною або кульовою.

Зміщення частинок середовища, у будь-якій точці за фронтом сферичної хвилі, на даний момент часу залежать від відстані до джерела, значення та форми зміни тиску у джерелі. Через те що тиск у джерелі змінюється з часом, зміщення у ближніх точках, що лежать на одному радіусі, будуть відмінними на один і той же момент часу. Це призводить до того, що у кожний даний момент часу одні частинки середовища, у разі зближення створять місцеве його ущільнення, а інші, з віддаленням одна від одної, створять його розрідження. Внаслідок цього у середовищі утворюються зони стискання та розрідження різної інтенсивності, які чергуються між собою і мають вигляд сферичних шарів. Ділянку перетину цих шарів площиною, що проходить через центр О порожнини джерела, схематично зображено на рисунку 2 для декотрого постійного моменту часу t. Зі збільшенням часу фронт хвилі та наступні за ним зони стиснення та розрідження будуть все далі віддалятись від джерела. При цьому зміщення частинок за фронтом хвилі буде зменшуватись обернено пропорційно відстані z від джерела. Це пояснюється тим, що енергія, надана хвилі джерелом, міститься у сферичному шарі,

Рисунок 2 - Зміщення частинок, зони стиску і розрідження за фронтом повздовжньої сферичної хвилі.

1- передній фронт хвилі в момент часу t_n=r_n/V_p; 2 – напрям зміщення частинок середовища за фронтом хвилі від джерела, тиск в якому змінюється по закону, що зображений на рисунку 1; 3 – зони стиску; 4 – зони розрідження

обмеженому переднім та заднім фронтами хвилі, об’єм якого, збільшується пропорційно квадрату відстані від джерела. Звідси висновок, густина енергії на одиницю об’єму цього шару зменшується обернено пропорційно квадрату цієї відстані. Енергія ж коливань пропорційна квадрату їхньої амплітуди. Тому зміщення частинок середовища за фронтом сферичної хвилі зменшуються обернено пропорційно відстані r_n=V_pt_n (6.12) від джерела за рахунок розходження фронту хвилі (віддалення хвилі від джерела).

Зміна характеру зміщення частинок середовища за фронтом сферичної хвилі можна більш наочно зобразити графічно, узявши за вісь абсцис будь-яку пряму, що проходить через джерело, і відклавши на ній відстані від джерела. По вісі ординат будемо відкладати зміщення точок середовища від положення рівноваги (початкового положення). Зміщення точок середовища у напрямку розповсюдження фронту хвилі будемо рахувати позитивними, а у зворотному напрямку – від’ємними. Графік залежності зміщення U частинок середовища за фронтом сферичної хвилі від відстані r до джерела до деякого моменту часу t називають профілем хвилі.

Зміни з часом t зміщення U частинок середовища, розташованою на деякій відстані r від джерела, називають графіком коливань. На рисунку 3 наведені

Рисунок 3 - Профіль (а) і графік (б) пружної хвилі

профіль і графік коливань сферичної повздовжньої пружної хвилі у випадку, схематично показаного на рисунку 1, 2. Тому профіль та графік коливань хвилі аналогічні характеру зміни тиску p у сферичній порожнині джерела.

Точки, у яких спостерігається найбільше позитивне або від’ємне зміщення частинок середовища, називають горбом або западиною хвилі. Відстань між сусідніми западинами називають видимою (переважаючою) довжиною хвилі λ (рисунок а). З аналогії з гармонічними (незгасними) синусоїдальними або косинусоїдальними) коливаннями, коли роздивляються згаслі пружні хвилі вводять поняття фази коливань.

Момент часу t_n=r_n/V_p (6.13), за який передній фронт хвилі досягає тієї чи іншої точки середовища, викликавши її зміщення називають часом вступу хвилі у дану точку. Найбільше відхилення частинки середовища від стану рівноваги називають видимою амплітудою коливань. Проміжок часу Т між двома екстремумами однієї назви (максимумами або мінімумами, горбами або западинами) зміщень називають видимим (переважаючим) періодом коливань. За початок відліку часу у випадку розповсюдження пружних хвиль беруть момент збудження пружної хвилі у джерелі, тобто момент прикладання до порожнини джерела тиску Р.

Якщо профіль хвилі під час її розповсюдження не змінюється, то горби та западини хвилі рухаються у однорідному, ізотропному середовищі з постійною швидкістю V_p. Час Т, що між моментами приходу у довільну точку середовища двох сусідніх горбів, роздільних у просторі відстанню λ, може бути виражений через V_p та λ співвідношенням:

T=λ/V_p. (1.4)

Замість видимого (переважаючого) періоду коливань T нерідко користуються видимою (переважаючою) частотою коливань f, яка у зв’язку з T по співвідношенню

F=1/T. (1.5)

Нерідко замість f використовують видиму (переважаючу) кругову частоту

ω=2πf. (1.6)

Між всіма цими параметрами існує співвідношення λ=V_pT=V_p/f=2πV_p/ω.

У теорії розповсюдження хвиль користуються поняттям променя, під яким розуміють лінію, нормальну (перпендикулярну) до фронту хвиль, а також принципи Гюйгенса та Ферма.

Згідно принципу Гюйгенса кожну точку хвильового поля можна розглядати як початкове джерело пружних коливань. Зокрема, принцип Гюйтенса використовують практично, щоб визначити положення фронтів хвиль у середовищі у різні моменти часу, якщо задано положення фронту хвилі у деякий момент t=t₁ і значення швидкості V розповсюдження хвилі у різних ділянках фронту (якщо пружне середовище неоднорідне і швидкість розповсюдження пружних хвиль у різних його ділянках є різною). Положення фронту хвилі у момент часу t₂=t₁+Δt (1.77) можна визначити як обвідну до сімейства елементарних сферичних хвиль, що виникає в усіх точках, розташованих на фронті хвилі у момент часу t, та які розповсюдились за час Δt на відстань, що визначається VΔt. У перетині простору площиною, що проходить через джерело, визначення положення фронту хвилі у момент часу t₂, якщо задано його положення у момент часу t₁, проілюстровано рисунку 4.

Рисунок 4 Побудова фронту хвилі у момент часу t₂=t₁+Δt, якщо задано положення фронту на момент часу t₁ за допомогою принципу Гюйгенса.

1 – джерело пружної хвилі; 2 – положення фронту у момент часу t₁; 3 – положення фронту на момент часу t₂; 4 – один з сейсмічних променів.

Розповсюдження пружних хвиль являє собою процес передачі енергії від джерела в навколишнє середовище. Промені можна розглядати як лінії, вздовж яких у середовищі розповсюджується енергія, яку несе у собі пружна хвиля. Час пробігу хвилі між двома точками, які лежать на одному промені, є найменшим порівняно з часом пробігу хвилі вздовж будь-якого іншого шляху, що з’єднує ці точки. Ця властивість сейсмічного променя отримала назву принципу Ферма. Цей принцип залишається дійсним і для неоднорідного середовища і дозволяє визначити в ньому форму променів шляхом розв’язку задачі пошуку мінімуму часу розповсюдження хвилі.

На великих відстанях від джерела обмежена ділянка сферичного фронту хвилі буде мало чим відрізнятись від дотичної до неї площини. У цьому випадку можна рахувати, що сферична хвиля поступово переходить у плоску хвилю.

У разі збудження пружних хвиль за допомогою короткочасних впливів графік коливань частинок середовища за фронтом хвилі має форму імпульсу зі швидко згаслим коливальним процесом. (рисунок 3, б). З вищої математики відомо, що будь-яка функція, що має у заданому інтервалі часу кінцеві значення, може бути представлена як сума нескінченого числа простих гармонічних коливань з частотами f або ω, які змінюються від нуля до нескінченості, амплітудами і фазами, що залежать від частоти f або ω. Криві залежності амплітуди та фазового кута φ гармонік, що дають результатом сумування вихідну функцію, від частоти f або ω носять назву амплітудного та фазового спектрів (або спектральної густини та фазового кута спектральної густини) вихідної функції.

На рисунку 5 схематично зображено чотири (А, Б, В, Г) різних види імпульсів та відповідні до них амплітудні і фазові спектри. Всі ці імпульси та їхні спектри можна описати математичними рівняннями.

Рисунок 5 - Часові функції (а), їх амплітудні (б) і фазові (в) спектри.

А – одинична прямокутна функція U, дорівнює нулю при t<0 і одиниці при t0 ; Б – експоненціальна функція U=e^-t ; В – затухаюча сіносуїдальна функція U=e^-tsin ₀t; Г- миттєвий імпульс U, що дорівнює нулю при t0 і одиниці при t=0.

З розгляду кривих (рисунок 5) видно, що зі збільшенням тривалості імпульсів їхній амплітудний спектр стискається, а при скороченні тривалості імпульсу – значно розширюється. Амплітудний і фазовий спектри імпульсу у частотній області повністю та однозначно характеризує форму імпульсу у часовій області.

Природна або штучна зміна амплітудних або фазових спектрів пружних хвиль у процесі їхнього розповсюдження, реєстрація або обробка призводить до зміни форми цих імпульсів у часовій області. Цей процес є одним з видів фільтрації коливань.

Так, роздивившись рис. робимо висновок, що одиничний (миттєвий) імпульс Г є сумою синфазних (φ=0) гармонічних коливань з різною частотою ω і постійною амплітудою, на рисунку 6, а зображено сім косинусоїдів різної частоти ω, однаковими амплітудами та однаковою фазою (максимум) у момент часу t=0. Якщо через рівні інтервали Δt просумувати амплітуди усіх гармонік і збудувати по ним підсумковий графік, то отримаємо криву, аналогічну рисунку 6, б. Цей гострий пікоподібний імпульс по обидві сторони якого буде спостерігатись крива з незначними амплітудами. Зі зростанням числа гармонік до нескінченості та діапазону їхніх частот ω від нуля до нескінченості їхня сума і дає одиничний (миттєвий) імпульс, коли тільки у момент t=0 косинусоїди будуть сумуватись без зсуву фаз і дадуть єдину ненульову ординату. Коли інші значення t сума амплітуд косинусоїд буде дорівнювати нулеві.

У твердих пружних тілах повздовжні хвилі розповсюджуються з порівняно великими швидкостями, які змінюються від декількох сотень до декількох тисяч метрів за секунду. Переважаючі частоти коливань частинок середовища за фронтом пружної хвилі вимірюються десятками герц (періодів за секунду), а періоди коливань складають соті частки секунди. Видимі тривалості сейсмічних імпульсів як правило не перевищують 2-3 періоди і, відповідно, однієї десятої частки секунди. У випадку найчастішого діапазону зміни швидкості від 600 до 6000 м/с та діапазону зміни частот від 20 до 60 Гц переважно довжини пружних хвиль змінюються від 30 до 120 м, але можливі значні відхилення по обидва боки від цих значень. Для розв’язку геологічних задач великого значення набуває той шлях, який хвиля пройшла від джерела до пункту спостереження. Довжина шляху визначається швидкістю, з якою вона розповсюджувалась на його окремих ділянках, та часом, який потрібний був хвилі для пробігу цим шляхом. Через те що швидкості розповсюдження пружних хвиль у твердих середовищах є достатньо великими, необхідною є висока точність визначення часу пробігу пружних хвиль. У сейсморозвідці час пробігу пружних хвиль прийнято вимірювати з похибкою до 0,001 с, що з V=3000 м/с дає похибку визначення шляху пробігу 3 м.

Рисунок 6 - Утворення миттєвого імпульсу сумуванням великого числа косинусоїд.

а – сумуємі косинусоїди; б – сума косинусоїд.

Максимальні зміщення частинок середовища за фронтом пружної хвилі змінюються у широких межах. Вони залежать від інтенсивності джерела пружних хвиль, відстані від джерела, шляху пробігу пружної хвилі і багатьох інших причин. У багатьох випадках максимальні зміщення можуть змінюватись від десятків до сотих часток мікрона, тобто в декілька тисяч разів. У сейсморозвідці, у акустиці та у радіоелектроніці з метою вимірювання відношення максимальних (Umax) та мінімальних (Umin) амплітуд сигналів використовують величину D, яка зветься динамічним діапазоном: яку виражають у децибелах (дБ):

. (1.8).

Так, якщо Umax у 10 тис. Разів більше за Umin, то їхній динамічний діапазон (зміна інтенсивності) складає 80 дБ, тому що десятковий логарифм 10 тис. дорівнює 4:

D=20lg 10000=20.4=80дБ (1.9)

З наведених раніше параметрів пружних хвиль висновок робимо, що апаратура для їхньої реєстрації повинна мати дуже велику чутливість, значний динамічний діапазон і високу точність вимірювання часу пробігу пружних хвиль.