Математическое моделирование и формализация
7.1 Классификация моделей
Модель – это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе изучения замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты этого оригинала.
Модель – это упрощенное представление о реальном объекте, процессе или явлении.
Признак или величина, которые характеризуют какое-либо свойство объекта и могут принимать различные значения, называются параметрами модели.
Модели и моделирование используются человечеством давно. По сути, именно модели и модельные отношения обусловили появление разговорных языков, письменности, графики. Наскальные изображения наших предков, затем картины и книги – это модельные, информационные формы передачи знаний об окружающем мире последующим поколениям.
Моделированием называется как процесс построения модели, так и процесс изучения строения и свойств оригинала с помощью построенной модели.
Основные цели моделирования:
1. понять как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (ПОНИМАНИЕ).
2. научиться управлять объектом (процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (УПРАВЛЕНИЕ).
3. прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (ПРОГНОЗИРОВАНИЕ).
Любая модель не является копией объекта, а отражает лишь наиболее важные, существенные для объекта черты и свойства, пренебрегая остальными характеристиками объекта, которые несущественны в рамках поставленной задачи.
Любая модель должна обладать следующими свойствами:
1) конечность (модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений, и, кроме того, ресурсы моделирования конечны);
2) упрощенность (модель отображает только существенные стороны объекта);
3) приблизительность (действительность отображается моделью приблизительно);
4) адекватность (модель успешно описывает моделируемую систему);
5) информативность (модель должна содержать достаточную информацию о системе в рамках гипотез, принятых при построении модели).
Основными этапами моделирования являются:
1) постановка задачи;
2) разработка модели, анализ и исследование задачи;
3) компьютерный (натурный, физический) эксперимент;
4) анализ результатов моделирования.
На этапе разработки модели осуществляется построение информационной модели, то есть формирование представления об элементах, составляющих исходный объект.
Виды моделей: (Пак, Могилев-89)
Материальные (натурные, предметные) – основываются на чем-то объективном, существующем независимо от человеческого сознания (на каких-то телах или процессах).
Предметные модели воспроизводят геометрические, физические и другие свойства объектов в материальной форме (глобус, анатомические муляжи, модели кристаллических решеток, макеты зданий и сооружений и др.)
Их делят на физические (например авиамодели) и аналоговые, основанные на процессах, аналогичных в каком-то отношении изучаемому (например процессы в электрических цепях оказываются аналогичными многим механическим, химическим и другим процессам и могут быть использованы для их моделирования). Граница между физическими и аналоговыми условна.
2. Идеальные – неразрывным образом связаны с человеческим мышлением, воображением, восприятием. Можно выделить интуитивные модели – театр, литература, живопись и т.п. Единого подхода к классификации идеальных моделей нет. Различают:
a. Вербальные (текстовые) модели – используют последовательности предложений на диалектах естественного языка для описания той или иной области действительности. Например, милицейский протокол, резюме претендента на вакантное место.
b. Математические модели – щирокий класс моделей, использующих математические методы и отражает приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Матмодель звезды – куча уравнений.
По характеру времени математические модели делятся на непрерывные и дискретные. Первые функционируют в непрерывном времени, а вторые – в дискретном времени, то есть описывают состояние объекта, процесса или явления только в отдельные моменты времени. Примером непрерывных детерминированных моделей могут служить дифференциальные уравнения; примером дискретных детерминированных моделей – конечные автоматы, дискретных стохастических – вероятностные автоматы.
c. Информационные модели – класс моделей, описывающих информационные процессы (возникновение, передачу, преобразование и использование информации) в системах разнообразной природы. Информационные модели представляют объекты и процессы в образной или знаковой форме, то есть средствами любого формального языка (например, с помощью математических формул). Образные модели (рисунки, фотографии и др.) представляют собой зрительные образы объектов, зафиксированные на каком-либо носителе информации (бумаге, фото- и кинопленке и др.). Знаковые информационные модели строятся с использованием различных языков (знаковых систем). Знаковая информационная модель может быть представлена в форме текста (например, программы на языке программирования), формулы (например, второго закона Ньютона F=m·a), модель упругого столкновения 2-х тел и таблицы (например, периодической таблицы элементов Д.И. Менделеева).
Разделение опять же условно – информационные могут быть подклассом математических.
Информатика имеет самое непосредственное отношение к информационным и математическим моделям, поскольку они – основа применения компьютера при решении задач различной природы (ядерная зима).
Для разных целей могут оказаться удобными различные формы модели. С точки зрения наглядности наиболее подходящей является графическая форма. Примерами графических информационных моделей могут служить: карта местности, чертеж, электрическая схема, график изменения температуры. К числу самых первых графических информационных моделей следует отнести наскальные росписи.
Примеры информационных моделей по форме представления:
Информационная модель прямоугольного треугольника
Геометрическая модель:
Словесная модель: «Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого один из углов прямой»
Математическая (знаковая) модель: <А+<В+<С=180° , АВ2=АС2+ВС2
Эвристическое моделирование – разновидность инновационного моделирования, заключающаяся в стремлении человека воспроизвести то, что однажды уже привело его случайно к успеху. Этот вид моделирования представляет собой механизм самообучения человека на собственном положительном опыте.
Аналитические модели – один из классов математических моделей, часто используемых в экологии. Аналитические модели служат в основном целям выявления, математического описания, анализа и объяснения свойств или наблюдаемых феноменов, присущих максимально широкому кругу экосистем. Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, дифференциальных, интегральных уравнений и т.д.).
Информационной моделью нельзя считать другой объект, не отражающий существенных признаков и свойств объекта-оригинала.
К числу документов, представляющих собой информационную модель управления государством, можно отнести Конституцию РФ.
Развитие любой науки в целом можно трактовать в весьма общем, но вполне разумном смысле, как теоретическое моделирование. Важная познавательная функция моделирования состоит в том, чтобы служить импульсом, источником новых теорий. Нередко бывает так, что теория первоначально возникает в виде модели, дающей приближенное, упрощенное объяснение явления, и выступает как первичная рабочая гипотеза, которая может перерасти в «предтеорию» – предшественницу развитой теории. При этом в процессе моделирования возникают новые идеи и формы эксперимента, происходит открытие ранее неизвестных фактов. Такое «переплетение» теоретического и экспериментального моделирования особенно характерно для развития физических теорий (например, молекулярно-кинетической или теории ядерных сил).
В настоящее время эволюционное моделирование представляет собой направление в математическом моделировании, объединяющее компьютерные методы моделирования биологических процессов эволюции, а также другие, идеологически близкие направления в математическом программировании, использующие эвристические методы и эволюционный принцип. Инструментами эволюционного моделирования являются генетические алгоритмы, генетическое программирование, эволюционные стратегии, эволюционное программирование, а также искусственные нейронные сети, нечеткая логика.
Визуальное, удобное в управлении представление пространственных данных является одной из главных задач геоинформационного моделирования.
При имитационном моделировании воспроизводится алгоритм функционирования системы во времени – поведение системы; причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания, что позволяет по исходным данным получить дающие возможность оценить характеристики системы сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени. Основным преимуществом имитационного моделирования является возможность решения сложных задач. Например, модель прогноза экономического развития региона.
Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов системы, многочисленные случайные и другие воздействия, которые часто создают трудности при аналитических исследованиях.
В настоящее время имитационное моделирование – наиболее эффективный метод исследования систем, а часто единственный, практически доступный метод получения информации о поведении системы.