2. Дедуктивные умозаключения

Определение: Дедуктивным называется умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования.

Если посылки дедуктивного умозаключения обозначить буквами А , А ,…..А_n, заключение – буквой В, то схематично само умозаключение можно представить так:

А , А ,…..Аn  В .

Дедуктивным является умозаключение, рассмотренное в примере 1.

3. Схемы дедуктивных умозаключений

Рассмотрим подробнее дедуктивные (правильные) умозаключения. Согласно определению в дедуктивном умозаключении посылки и заключение находятся в отношении логического следования. Это означает, что в нем всегда из истинных посылок следует истинное заключение. Но как строить такие умозаключения?

В логике предлагаются такие правила, соблюдая которые, можно строить дедуктивные умозаключения.

1. Правило заключения ( А(х)В(х), А(а) )  В(а).

А(х)В(х) – общая посылка,

А(а) – частная посылка,

В(а) – заключение.

Пример использования правила заключения. Если запись числа оканчивается цифрой 5, то число делится на 5. Запись числа 135 заканчивается цифрой 5. Значит число 135 делится на 5.

2. Правило отрицания ( А(х)В(х), (а) )  (а).

А(х)В(х) – общая посылка,

(а) – частная посылка,

(а) – заключение.

Пример использования правила отрицания. Если запись числа оканчивается цифрой 5, то число делится на 5. Число 177 не делится на 5. Значит его запись не оканчивается цифрой 5.

3.Правило силлогизма (А(х)В(х), В(х) С(х)) А(х) С(х).

А(х)В(х) и В(х) С(х) - посылки

А(х)С(х) – заключение.

Пример использования правила силлогизма. Если число кратно 12, то оно кратно 6. Если число кратно 6, то оно кратно 3. Значит , если число кратно 12, то оно кратно 3.

4. Индуктивные умозаключения

Индуктивные умозаключения бывают полными и неполными.

Определение: Неполная индукция – это умозаключение, в котором на основе того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты этого класса.

В примере 2 рассмотрено умозаключение, которое является неполной индукцией.

Неполная индукция не является дедуктивным умозаключением, т.к. рассуждая по этой

схеме можно прийти к ложному выводу. Поэтому к выводам полученным с помощью неполной индукции нужно относиться критически.

Пример 3. Рассмотрим выражения: 3 +5 и 3 + 5, 2 +7 и 2 +7 , 4 +8 и 4 + 8. Видим, что

3 +5 = 3 + 5, 2 +7 = 2 + 7 , 4 +8 = 4 + 8. Можно сделать вывод, что этим свойством обладают все натуральные числа, т.е. (a, bN) a + b = a+ b. Но это утверждение ложно, в чем можно убедить с помощью контрпримера: 1 + 2 + 1 + 2 .

Определение: Полная индукция - это умозаключение, в котором вывод делается на основе рассмотрения всех частных и возможных случаев.

Пример 4. Любое однозначное натуральное число является решением неравенства х+2х. Рассмотрим случаи:

При х=0 имеем 0+2  0, т.е. истинное числовое неравенство;

При х=1

При х=2

При х=3

При х=4

При х=5

При х=6

При х=7

При х=8

При х=9

Т.о. мы доказали, что ……..