2. Необходимое и достаточное условие.

Предикат В (х) следует из предиката А(х) тогда и только тогда, когда множество истинности предиката А(х) является подмножеством множества истинности предиката В (х) .

А(х)  В(х) -истинно  

Пример. Из предложений А(х) - “число х кратно 4” и В(х) - “число х кратно 2” сформулируем логические следования : А(х)  В(х) “если число х кратно 4, то оно кратно 2” и В(х) А(х) “если число х кратно 2, то оно кратно 4”.

Определим, какое из них истинное. Для этого найдем множества истинности А(х) и В(х).

= {4,8,12,……..4n…….},

= {2,4,6,8,10,12,………2n……}.

Т  Т , значит, истинно предложение А(х)  В(х).

Если а(х) в(х), то а(х) есть достаточное условие для в(х), а в(х) есть необходимое условие для а(х).

В предложении “если число х кратно 4, то оно кратно 2” , предложение “число х кратно 4” является достаточным условием для предложения “число х кратно 2”., предложение “число х кратно 2” является необходимым условием для предложения “число х кратно 4”.

Это предложение можно сформулировать по другому:

- для того, чтобы х было кратным 4, необходимо, чтобы оно было кратным 2;

- для того, чтобы х было кратным 2 достаточно, чтобы оно было кратным 4.

3. Структура теоремы, ее виды.

Понятие логического следования позволяет уточнить ряд вопросов, связанных с предложениями, которые в математике называют теоремами.

Теорема- это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства). С логической точки зрения теорема представляет собой высказывание вида АВ, где А и В высказывательные формы. Предложение А называют условием теоремы, а предложение В – ее заключением.

Теорема может быть сформулирована:

- в категоричной форме (Вертикальные углы равны);

- в импликативной форме (Если углы вертикальные, то они равны);

- со словом “необходимо” (Для того, чтобы углы были вертикальными, необходимо, чтобы они были равны)

- со словом “достаточно” ”(Для того, чтобы углы были равны, достаточно, чтобы они были вертикальными)

4. Виды теорем

А  В - теорема,

В  А - предложение, обратное данному,

 - предложение, противоположное данному,

 - предложение, обратное противоположному.

Задание: Для теоремы “если прямоугольник является квадратом, то его диагонали взаимно перпендикулярны” сформулируйте обратное, противоположное и обратное противоположному предложения. Найдите значение истинности каждого предложения.

Решение:

А -

В –

-

-

В  А -

 -

 -

(А  В)  (  ) Закон контрапозиции

Лекция 6.

«Математические доказательства. Анализ рассуждений»

1. Умозаключения и их виды

В логике вместо термина “рассуждение” чаще используется (как его синоним) слово “умозаключение”.

Умозаключение – это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося. При этом мы не обращаемся к исследованию предметов и явлений самой действительности, а открываем такие связи и отношения между ними, которые невозможно увидеть непосредственно.

Умозаключения состоят из посылок и заключения.

Посылки – это высказывания, содержащие исходные данные.

Заключение – это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходных.

Пример 1. Ученику предлагают объяснить, почему число 23 можно представить в виде суммы 20 + 3. Он рассуждает: “Число 23 двузначное. Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Следовательно, 23 = 20 + 3.”

Частная посылка:

Общая посылка:

Заключение (носит частный характер):

Пример 2. Один из приемов ознакомления младших школьников с переместительным свойством умножения заключается в следующем. Используя различные средства наглядности, школьники вместе с учителем устанавливают, что, например, 63 = 36, 52 = 25, 37 = 73. А затем на основе полученных равенств делают вывод: для всех натуральных чисел а и b верно равенство a  b = b  a.

Частные посылки:

Заключение (носит общий характер):