Лекция 3 «Построение отрицания составных высказываний» `. Построение отрицаний конъюнкции и дизъюнкции высказываний

А	В	АВ				
и	и
и	л
л	и
л	л



А	В	А В				
и	и
и	л
л	и
л	л

 

1. Построить отрицание предложения «число 12 четное и делится на 3».

Логическая структура предложения: , значит нужно воспользоваться формулой - .

А -

В –

-

-

-

2. Построить отрицание предложения «прямые АВ и СD параллельны или пересекаются».

Логическая структура предложения: , значит нужно воспользоваться формулой-

А -

В –

-

-

 -

2. Построение отрицания импликации

А	В	A B			А
и	и
и	л
л	и
л	л

 А 

Построить отрицание предложения « Если 4 является делителем числа, то 12 число составное»

Логическая структура предложения: , значит нужно воспользоваться формулой -

А -

В –

-

А -

Лекция 5

«Логические операции над высказывательными формами.

Строение и виды теорем»

1. Логическое следование (импликация) и равносильность между предикатами.

Над предикатами выполняются те же логические операции, что и над высказываниями: дизъюнкцию, конъюнкцию, отрицание, импликацию и эквиваленцию.

Определение. Конъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х , обозначают А(х)  В(х).

Если Т - множество истинности высказывательной формы А(х), а Т - множество истинности высказывательной формы В(х), то Т = Т  Т .

Пример: На множестве Х={1,2,3,4,5,6,7,8.} заданы высказывательные формы А(х)- х < 6, и В(х)- х – четное число. Найти Т .

Решение: найдем Т и Т .

Т ={1,2,3,4,5.}

Т ={2,4,6,8.}

А(х)  В(х) – х число четное и меньше шести.

Т = Т _ Т = {2,4.}

Определение. Дизъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х , обозначают А(х)  В(х).

Если Т - множество истинности высказывательной формы А(х), а Т - множество истинности высказывательной формы В(х), то Т = Т Т .

Пример: На множестве Х={1,2,3,4,5,6,7,8.} заданы высказывательные формы А(х)- х < 6, и В(х)- х – четное число. Найти Т .

Решение: найдем Т и Т .

Т ={1,2,3,4,5.}

Т ={2,4,6,8.}

А(х)  В(х) – х число четное или меньше шести.

Т = Т  Т = {1,2,3,4,5,6,8.}

Определение. Импликацией предикатов А(х) и В(х) называют предикат А(х)  В (х), определенный на множестве и обращающийся в ложное высказывание при тех и только тех х, при которых А(х) обращается в истинное высказывание, а В (х) – в ложное.

Определение. Если импликация А(х)  В (х) истинна для всех значений хХ, то говорят что предикат В (х) следует из предиката А(х).

Если Т - множество истинности высказывательной формы А(х), а Т_В(х)- множество истинности высказывательной формы В(х), то Т_{А(х)В(х)} = Т_Ā(х)  Т_В(х).

Пример: На множестве Х={1,2,3,4,5,6,7,8.} заданы высказывательные формы А(х)- х < 6, и В(х)- х – четное число. Найти Т_{А(х)В(х)}

Решение: найдем Т_А(х) , Т_Ā(х) и Т_В(х).

Т_А(х) ={1,2,3,4,5.}

Т_Ā(х) ={6,7,8.}

Т_В(х)= {2,4,6,8.}

А(х)  В(х) – если х число четное , то оно меньше шести.

Т_{А(х)В(х)} = {2,4,6,7,8.}

Определение. Эквиваленцией предикатов Р(х) и Q(х) называют предикат Р(х)  Q (х), определенный на том же множестве и обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех х, при которых Р(х) и Q(х) обращаются оба в истинные высказывания или оба в ложные.