Лекция 1 «Математические понятия, их определение»

Математические понятия обладают рядом особенностей. Главная заключается в том, что математические объекты в реальности не существуют. Математические объекты созданы умом человека. Это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова “предмет” говорят “геометрическая фигура”. Вообще, математические объекты существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.

1. Объем и содержание понятий

Объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.

Содержание понятия – это множество всех существенных свойств.

Рассмотрим понятие «квадрат»

Объем понятия «квадрат» – это множество различных квадратов.

Графически это можно изобразить с помощью кругов Эйлера

Рассмотрим понятие «прямоугольник»

Объем понятия «прямоугольник» – это множество различных прямоугольников.

Графически это можно изобразить с помощью кругов Эйлера

	Содержание понятия «квадрат»	Содержание понятия «прямоугольник»
1	иметь четыре прямых угла	иметь четыре прямых угла
2
3
4
5
6
7

Закон обратного отношения

• Чем уже объем понятия, тем шире его содержание;

• Чем шире объем понятия, тем уже его содержание.

2. Отношения между понятиями

Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами, т.е. множествами.

Условимся понятия обозначать строчными буквами латинского алфавита – a,b,c,…..z.

Рассмотрим несколько ситуаций.

	Понятия	Графическое изображение объемов понятий	Отношение между объемами понятий
1	a- «квадрат» и b- «прямоугольник»		А В
2	a- «прямоугольник с равными сторонами » и b- «квадрат»		А=В
3	a- «прямоугольник» и b- «ромб»		А пересекает В
4	a- «прямоугольник» и b- «трапеция»		А не имеет общих элементов с В

Пусть заданы два понятия a и b. Объемы их обозначим соответственно А и В.

1. Если А В, то говорят, что понятие а – видовое по отношению к понятию b, а понятие b- родовое по отношению понятия а.

Например: а – понятие “ квадрат ”, а b- понятие “прямоугольник ”. АВ. Поэтому можно утверждать, что понятие “прямоугольник”- это …………… понятие по отношению к понятию “ квадрат”, а понятие “ квадрат”- это ……………. Понятие по отношению к понятию “прямоугольник”.

- Видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия.

- Для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так для понятия прямоугольник родовыми понятиями являются понятия “четырехугольник”, “многоугольник”, “параллелограмм”. Среди них можно указать ближайший. Это “параллелограмм”.

- Понятие рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие “параллелограмм” является родовым по отношению к понятию “прямоугольник ”, и видовым по отношению к понятию “четырехугольник”.

2. Если А=В, то говорят что понятия а и b тождественны.

3. Если А пересекает В, то а и b- совместимы.

4. Если А не имеет общих элементов с В, то а и b несовместимы.