Доказательство.

Пусть событие А появляется в одном испытании и вероятность события А равна p . Случайная величина X – число появлений события А в одном испытании может принимать только 2 значения c вероятностями p и q =1-p , тогда M(X) = = 0 ч.т.д.

6. Математическое ожидание биномиального распределения находится по формуле M(X) = np.

Доказательство. Пусть X – число наступления события А в n независимых испытаниях . Очевидно, общее число X – появления события А в этих испытаниях складывается из чисел появления события в отдельных испытаниях

X = ,

так как математическое ожидание отдельного испытания равно его вероятности , то есть M по свойству 5 ч.т.д.

Пример. Подлежат исследованию 1200 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе равна 0, 09 . Найти математическое ожидание числа проб с промышленным содержанием металла.

Решение. Пусть число проб с промышленным содержанием металла случайная величина X, тогда n = 1200; p = 0,09. M(X) = 1200 0,09 = 108.

Кроме математического ожидания есть и другие характеристики.

Отклонение случайной величины от её математического ожидания

Определение. Случайную величину Y = X – M(X) называют отклонением случайной величины от её математического ожидания.

Составим ряд распределения случайной величины Y.

X			….
P			….

X-M(X)			…
P			…

Для того , чтобы отклонение приняло значение достаточно , чтобы случайная величина приняла значение , вероятность которого и тогда вероятность – тоже .

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю. M[X-M(X)]=0.

Доказательство. M[X-M(X)]=M(X)-M[M(X)] = M(X)- M(X)=0. Так как M(X) – число, а математическое ожидание числа равно 0.

Определение. Центрированной случайной величиной X называют разность между случайной величиной её математическим ожиданием.

X = X – M(X) , так как математическое ожидание - центр распределения.

Лекция 5. Дисперсия случайной величины .

На практике часто требуется оценить рассеивание возможных значений случайной величины вокруг её среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды , вблизи цели , которая должна быть поражена .

Определение. Дисперсией (разбросом , рассеиванием ) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания D(X) = M[X – M(X) .

X			…
P			…

[X-M(X)	[	[	…
P			…

D(X) = M[X-M(X) = [ + [ +…+

+[

или

x	1	2	5
p	0,3	0,5	0,2

Пример. Задана случайная величина

Найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение. M(X) = 0,3 + 2 0,5 + 5 = 2,3.

[ = (1 – 2,3 [ = ( 2 – 2,3 = 0,09 ;

[X-M(X)	1,69	0,09	7,29
P	0,3	0,5	0,2

D = 1,69

Формула для вычисления дисперсии

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом её математического ожидания.

D(X) + M(

Доказательство. По определению D(X) = M [X-M(X) .

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю D[C]=0.

Доказательство. По определению D[C] = M{[C-M(C) = M{[C-C

Ясно, что постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяния не имеет.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат D(CX) =

Доказательство. D(CX) = M{[CX-M(CX) = M{[CX-CM(X)

С войство становится ясным , если принять во внимание , что при величина СX имеет возможные значения ( по абсолютной величине ),большие , чем величина X . Отсюда следует , что эти значения рассеяны вокруг математического ожидания M(CX) больше , чем возможные значения X вокруг M(X) , то есть если 0 , то D(CX)

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин D(X+Y) = D(X) + D(Y).

Доказательство. По формуле для вычисления дисперсии имеем

D (X+Y) = M[(X+Y ] – [M(X+Y) = M[ ч.т.д.

D(X) D(Y)

4. D(X +Y + Z ) = D(X) +D(Y) + D(Z).

5. D(C + X) = D(C) + D(X) = D(X).

Действительно величины X и C+X отличаются лишь началом отсчёта и значит рассеяны вокруг своих математических ожиданий одинаково.

6. D(X-Y) = D(X) + D(Y)

Доказательство. D(X-Y) = D(X) + (D(-Y)) = D(X) + ( D(Y) = D(X) + D(Y) ч.т.д.

7. Дисперсия случайной величины , распределённой по биномиальному закону находится по формуле D(X) = npq.

Доказательство. Пусть случайная величина X – число появления события А в n независимых испытаниях. Общее число появления события А равно

X = ; D(X) = D( вычислим

D( , но M( из свойств математического ожидания M( D( = p - = p ( 1- p ) = p q , таких дисперсий n , поэтому D(X) npq ч.т.д.

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют корень квадратный из дисперсии.

Дисперсия имеет размерность равную квадрату размерности случайной вели

чины , так как среднее квадратическое отклонение равно , то размерность совпадает с размерностью X. Таким образом когда , надо, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины вычисляют среднее квадратическое отклонение. Например, если X выражается в линейных метрах , то будет тоже в линейных метрах , а D(X) в квадратных метрах.

Пример. Случайная величина задана законом распределения

x	2	3	10
	0,1	0,4	0,5

Найти математическое ожидание , дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение. M(X) = 2 = 6,4; D(X) = (2 – 6,4 .

Одинаково распределённые взаимно независимые

случайные величины

Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин , которые имеют одинаковые распределения и следовательно одинаковые числовые характеристики ( м.о., D, Наибольший интерес имеет изучение числовых характеристик среднего арифметического этих величин.

= (

Теорема 1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределённых взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию каждой из величин. M( ) = .

Доказательство. M( ( ] = , пусть математическое ожидание каждого , тогда M( . ч.т.д.

Теорема 2. Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределённых взаимно независимых случайных величин в n раз меньше дисперсии D каждой из величин . .

Доказательство. Пользуясь свойством дисперсии

D( ) = = ч.т.д.

Теорема 3. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического n одинаково распределённых взаимно независимых случайных величин в раз меньше среднего квадратического отклонения каждой из величин.

Доказательство. = = ч.т.д.

Начальные и центральные теоретические моменты

Определение. Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины и обозначают

. D(X) = M или D(X) = ² .

Определение. Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины (X – M(X) и обозначают

.

, = ² .

ЛЕКЦИЯ 6. Функция распределения вероятностей

случайной величины.

Определение. Непрерывной случайной величиной называется такая величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал (конечный или бесконечный ) числовой оси.

Как задавать такие величины? Конкретно их не пересчитать, поэтому существуют другие способы задания случайных величин.

Определение. Функцией распределения случайной величины называется функция F(x), определяющая вероятность того , что случайная величина X в результате испытания примет значение , меньшее x , то есть

F(x) = P( X F(x)

0 x

Иногда эту функцию называют « интегральной функцией».

Определение. Случайную величину X называют непрерывной, если её функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.