Интегральная теорема Лапласа

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы , то вероятность Р_n (k₁ ,k₂ ) того , что событие А появится в n испытаниях от k₁ до k₂ раз приближённо равна

(1)

Значение функции Ф (x) = dz находится в таблицах , так как этот интеграл не выражается в элементарных функциях , причём при x>5 , Ф (x) = 0,5 . Ф (x) – функция нечётная , то есть Ф(x) = - Ф (-x) . Эта функция называется функцией Лапласа , её значения приведены в таблицах.

Для того,чтобы было удобно пользоваться таблицей преобразуем формулу (1) .

= Ф ( . Окончательно

Задача. Найти вероятность того, что среди 1000 новорождённых мальчиков от 465 до 555 включительно. Для упрощения расчётов принять , что вероятность рождения мальчика равна 0,5.

Решение.

;

ЛЕКЦИЯ 4. Случайные величины

Определение. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет то или иное числовое значение , наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее могут быть учтены.

Обозначают случайные величины X,Y,Z…., а их возможные значения x,y,z ..или . .

Пример. 1). При бросании игральной кости могли появиться числа 1,2,3,4,5,6 наперёд определить число выпавших очков невозможно, 1,2,3,4,5,6 – возможные значения случайной величины X – количества очков.

2. Число распавшихся атомов радия за данный промежуток времени .

3. Число вызовов на телефонной станции за некоторый промежуток времени.

Рассматривают два типа случайных величин : дискретные и непрерывные.

Определение. Дискретной ( прерывной ) называют случайную величину , которая принимает отдельные , изолированные возможные значения с определёнными вероятностями .

Число возможных значений может быть конечным или бесконечным.

Определение. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Закон может задаваться : таблично, аналитически, графически.

1). Табличный закон

X				…
P				…

Так как из определения следует, что случайная величина примет одно и только одно значение, то есть X=x₁, X=x₂, ….X=x_n , то эти события x_i образуют полную группу событий и поэтому .

2). Графический способ. Многоугольник распределения.

p_i p₃

p₄

p₂

p₅

p₁ p₆

o

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x

Пример. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырёх выстрелов. Составить закон распределения числа выстрелов , производимых охотником . Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7.

Решение.

Число выстрелов	1	2	3	4
вероятности	0,7	0,21	0,063	0,027

Р(x=1) = 0,7 ; P(x=2) = 0,3 = 0,21 ; P(x=3) = 0, ; P(x=4) =1- 0,7+0,21+0,063= 0,027.