Вероятность гипотез . Формула Байеса.
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий Вi , образующих полную группу. Поскольку заранее не известно , какое из этих событий наступит , их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности
(1)
Допустим
событие А произошло. Найдём условные
вероятности
,……
,
По теореме умножения Р(А)
отсюда
=
, где Р(А) подсчитывается по формуле
(1).
Окончательно
формула
Байеса
(2)
Пример 2. В условиях примера 1. Определить вероятность того , что самолёт будет уничтожен от попадания снаряда в топливный бак.
Решение.
.
Повторные испытания . Формула Бернулли
Если производится несколько испытаний , то говорят , что имеют место повторные испытания . В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности , либо одну и ту же вероятность.
Пусть
вероятности одинаковы и обозначим их
р, тогда вероятность не наступления
события q
= 1 – p.
Определим вероятность
того , что событие А произойдёт m
раз в n
испытаниях . Причём события А и
могут чередоваться. Пусть n=4
, а m
= 2 , А
А
;
. Всякую комбинацию в которую А входит
m
раз,
входит n-m
раз назовём благоприятной . Количество
благоприятных комбинаций равно k
=
.
Подсчитаем вероятность благоприятной
комбинации В1=
ААА…А
;
Р(
В1
) = Р(А) ∙ Р(А)…Р(А) Р(
)
)…Р(
)
= в силу независимости испытаний
= рm
qn-m
, таких комбинаций В1
будет k,
то есть
=
,
- это формула
Бернулли .
Замечание. Формула Бернулли применяется , когда число повторных испытаний n < 10.
Пример. Всхожесть семян некоторого растения составляет 90%. Найти вероятность того , что из посеянных 4-х семян взойдут 3.
Решение. n = 4; m = 3; p = 0,9; q = 1-p = 0,1.
Наивероятнейшее число наступлений события
Определение. Число m0 наступления события А в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим , если вероятность наступить событию m0 раз – наибольшая.
Наивероятнейшее число m0 наступления события А в n испытаниях , в каждом из которых оно может наступить с вероятностью р и противоположной вероятностью q = 1 – p , определяется из двойного неравенства
Пример. Вероятность производства стандартной детали в некоторых условиях равна 0,98. Найти наивероятнейшее число стандартных среди 625 деталей.
Решение. n = 625 ; p = 0,98; q = 0,02. Подставляем в неравенство
611,52
m0
= 612
, как единственное целое число между
этими числами.
При достаточно больших n пользоваться теоремой Бернулли неудобно, существуют другие формулы.
Локальная теорема Лапласа
Теорема.
Если
вероятность появления события А в каждом
испытании постоянна и отлична от нуля
и единицы, то вероятность
того, что событие А появиться ровно k
раз приближённо равно
Эта формула даёт более точные значения , когда n – велико.
Функция
– чётная , то есть
x)
=
, её значения находят по таблице.
Пример. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того,
что из 200 родившихся детей мальчиков и девочек будет поровну.
Решение. n = 200; p = 0,515 ; q = 1-p = 0,485 ; k = 100 ;
=
x=
по
таблице} = 0,3647.
.