Решение:

1а. Располагаем данные задачи в порядке возрастания , получаем вариационный ряд:

8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 28, 29, 30, 32.

Объём выборки n = 80. Наименьшее значение 8, наибольшее 32.

Таблица 1. Характеристики выборки в задаче 1

Частичный интервал	7,5 -10	10- 12,5	12,5- 15	15- 17,5	17,5- 20	20- 22,5	22,5- 25	25- 27,5	27,5- 30	30- 32,5
	3	4	9,5	13,5	14,5	12,5	11	7	3,5	1,5
	0,038	0,050	0,119	0,169	0,181	0,156	0,088	0,088	0,044	0,018
W =	0,015	0,020	0,048	0,068	0,072	0,062	0,055	0,035	0,017	0,007
	8,75	11,25	13,75	16,25	18,75	21,25	23,75	26,25	28,75	31,25

1б. Составим ряд распределения выборки, разбивая интервал на 10 частей. Найдём длину частичного интервала

h =

Будем подсчитывать число значений случайной величины, попавших в i-й интервал . Значения случайной величины , совпавшие с границей двух интервалов , будем относить в правый и в левый интервалы, разделив число значений пополам .

Распределение частот относительно частот и плотности относительных частот W = выборки представлены в таблице 1.

2. Построим гистограмму плотности относительных частот (рис. 1 ).

Проводим сглаживающую кривую – график плотности статистического закона распределения относительных частот.

3. Начерченная кривая напоминает график функции Гаусса – график плотности нормального распределения . Поэтому выдвигаем нулевую гипотезу : теоретический закон распределения исследуемой случайной величины - нормальный. Функция плотности нормального закона распределения имеет вид:

f (x) = .

В нашей задаче за параметры и принимаем точечные оценки этих величин:

,

W

0,08

0,06

0,04

0,02

0,00

5 10 15 20 25 30 35

Рис. 1. Гистограмма плотности относительных частот в Задаче 1

4. Заменим непрерывную случайную величину дискретной, принимающую значения , совпадающие с центрами соответствующих частичных интервалов ( см. табл.1). Найдём выборочные числовые характеристики:

= , (1)

где k - число интервалов;

; (2)

. (3)

Искомые выборочные числовые характеристики равны = 19,39;

= 26,82 ; = 5,18.

5. Найдём доверительные интервалы для математического ожидания M(x) и среднего квадратического отклонения с надёжностью .

Для математического ожидания получаем :

- + ,

так как n > 30, значение можно находить с помощью функции Лапласа ([1], приложение 3):

Ф(

Таким образом 19,39 – 1,12 < M(x) < 19,39 + 1,12 или 18,27 < M(x) < 20,51.

Для среднего квадратического отклонения получаем:

S(1-q) < при q <1 ;

Здесь S = Найдём q(n; ([1], приложение 4 ). q (80; 0,95) = 0,161, q < 1, таким образом

5,18(1 – 0,161) < < 5,18 (1+0,161) ; 4,84 < < 6,01.

6. Для проверки справедливости выдвинутой гипотезы используем критерий согласия Пирсона при уровне значимости . Наблюдаемое значение критерия подсчитываем по формуле

=

Таблица 2. Расчётная таблица к задаче 1.

i							(
1	8,75	-2,04	0,0498	1 ,91	6 ,47 3	7 0,53	0,28	0,043
2	11,25	-1,56	0,1182	4,56	4
3	13,75	-1,08	0,2227	8,58	9,5	0,92	0,84	0,094
4	16,25	-0,56	0,3410	13,14	13,5	0,36	0,13	0,010
5	18,75	-0,12	0,3961	15,26	14,5	-0,76	0,58	0,038
6	21,25	0,36	0,3739	14,41	13,5	-0,91	0,83	0,058
7	23,75	0,85	0,2780	10,71	11	0,29	0,08	0,007
8	26,25	1,32	0,1669	6,43	6	-0,43	0,18	0,028
9	28,75	1,81	0,0775	2 ,98	4,10 2,5	5 0,90	0,81	0,198
10	31,25	2,29	0,0290	1,12	2,5

Где определяемые в случае нормального закона распределения по формулам

.

Значения находим по [1], приложение 1.

Для нахождения значения критерия составляем расчётную таблицу 2. Получаем, что = 0, 476. Число параметров, определяемых статистически, r = 2. Число разрядов р = 8, так как при вычислении объединились по два интервала слева и справа. Определяем число степеней свободы :

k = p – r – 1 = 8 – 2 – 1 = 5 ,

отсюда

(k; (5;0,05) = 11, 1 ([1], приложение 5 );

0,476 < 11,1; то есть <

Следовательно , с заданным уровнем значимости можно утверждать , что выдвинутая гипотеза о нормальном распределении исследуемой случайной величины принимается.

Ответ.

Вывод.

Гипотеза исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону . С заданным уровнем значимости ( гипотеза принимается.

Задача 2.

При обследовании прибытия автобусов на некоторую станцию получены следующие интервалы прибытия (мин.) :

27, 40, 15, 145, 55, 87, 13, 50, 68, 8, 74, 40, 35, 8,277, 90, 120, 85, 60, 10, 14, 14, 75, 10, 40, 130, 18, 82, 40, 165, 35, 39, 78, 53, 45, 20, 285, 115, 60, 36, 105, 40, 39, 45, 15, 100, 130, 35, 63, 75, 90, 70, 95, 35, 90, 20, 45, 85, 90, 50, 170, 145, 15, 165, 65, 140, 70, 105, 25, 40, 40, 20, 75, 190, 110, 40, 50, 36, 25, 98.

Провести полное статистическое исследование. Уровень значимости принять равным надёжность

Решение:

1а. Располагаем данные задачи в порядке возрастания, получаем вариационный ряд:

8, 8, 10, 10, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 18, 20, 20, 20, 25, 25, 27, 35, 35, 35, 35, 36, 36, 39,39, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 45, 45, 45, 50, 50, 50, 53, 55, 60, 60, 63, 65, 68, 70, 70, 74, 75, 75, 75, 75, 78, 82, 85, 85, 90, 90, 90, 90, 90, 95, 98, 100, 105, 105,110, 115, 120, 130, 130, 140, 145, 165, 165, 170, 190, 277, 285.

Объём выборки n = 80. Наименьшее значение 8 , наибольшее 285.

1б. Случайная величина, исследуемая в задаче - интервал прибытия автобусов на станцию – является непрерывной случайной величиной. Интервал, в который попали значения выборки 7,5 – 285,5.Составим ряд распределения выборки, разбивая интервал на 10 частей. Найдём длину частичного интервала

h = = 27,8.

Таблица 3. Характеристики выборки в задаче 2

Частичный интервал	7,5- 35,3	35,3- 63,1	63,1- 90,0	90,9- 118,7	118,7- 146,5	146,5- 174,3	174,3- 202,2	202,2- 229,9	229,9- 257,7	257,7- 285,5
	21	23	19	7	6	3	1	0	0	2
	0,26	0,29	0,24	0,11	0,05	0,04	0,01	0	0	0,03
W =	0,009	0,01	0,009	0,004	0,002	0,0013	0,0003	0	0	0,001
	21,4	49,2	77,0	104,8	132,6	160,4	188,2	216,0	243,8	271,6

Будем посчитывать число значений случайной величины, попавших в i-й частичный интервал . Значения случайной величины, совпавшие с границей двух интервалов, будем относить в правый и в левый интервал, разделив соответствующее число пополам. Ряд распределения частот выборки и относительных частот представлен в таб. 3.

2. Построим гистограмму плотности относительных частот (рис.2). Проводим сглаживающую кривую – график функции плотности статистического распределения относительных частот.

3. Начерченная кривая напоминает график плотности показательного распределения. Поэтому можем выдвинуть нулевую гипотезу : теоретический закон распределения исследуемой случайной величины - показательный. Функция плотности показательного распределения имеет вид

f(x) = (x > 0); .

Для параметра найдём точечную оценку полагая, что оценка математического ожидания M (x ) = .

W

0 ,010

0 ,008

0 ,004

0 ,002

0 ,000

0 50 100 150 200 250 300

Рис.2. Гистограмма плотности относительных частот в задаче 2

4. Заменим непрерывную случайную величину дискретной, принимающей значения ,совпадающие с центром соответствующих частичных интервалов ( см. табл. 3 ). Для нахождения выборочных средних числовых характеристик воспользуемся формулами (1) – (3) ( см. задачу 1). Получаем

5. Найдём доверительные интервалы для математического ожидания M(x) и параметра закона распределения с надёжностью . Так как объём выборки достаточно велик, интервальную оценку M(x) можно провести по той же формуле, что и для нормального распределения:

- + ,

где таким образом ,

72,5 – 11,78 < M(x) < 72,5 + 11,78 ;

60,72 < M(x) < 84,28.

Для параметра получаем

60,72 < или 0,011 <

6. Для проверки справедливости выдвинутой гипотезы используем критерий Пирсона при уровне значимости . Наблюдаемое значение критерия подсчитывается по формуле

=

где - статистические частоты, теоретические частоты, определяемые в случае показательного закона распределения по формуле вероятность попадания случайной величины в i- й частичный интервал:

Здесь границы соответствующих частичных интервалов (см. табл. 3).

Объеденим 4 последних частичных интервала в табл. 3 (174,3 – 285,5) в один, так как частоты , соответствующие этим интервалам , относительно малы. Результаты расчётов для нахождения критерия Пирсона приведены в таблице 4.

Получаем , что = 14,58. Число параметров, определяемых статистически , r = 1 . Число разрядов ( интервалов) p = 7 . Определяем число степеней свободы:

k = p – r -1 = 7 – 1 – 1 = 5 ,

отсюда

(k; ( 5;0,05) = 11,1 ([1], приложение 5) ;

.

Следовательно с заданным уровнем значимости можно утверждать, что выдвинутая гипотеза о показательном распределении исследуемой случайной величины отвергается.

Таблица 4. Расчётная таблица к задаче 2

i								(
0	7,5	0,112	0,8940
1	35,3	0,518	0,5957	0,2983	23,86	21	-2,86	8,18	0,34
2	63,1	0,924	0,3969	0,1988	16,90	23	6,1	37,21	2,24
3	90,9	1,330	0,2845	0,1124	8,97	19	10,01	100	11
4	118,7	1,736	0,1762	0,1083	8,66	7	-1,66	2,76	0,32
5	146,5	2,142	0,1179	0,0583	4,66	6	1,34	1,80	0,40
6	174,3	2,548	0,0782	0,0397	3,18	3	-0,18	0,03	0,01
7	285,5	4,172	0,0153	0,0529	4,13	3	-1,13	1,28	0,31

Ответ: ;

Вывод .

Гипотеза : исследуемая случайная величина распределена по показательному закону. С заданным уровнем значимости ( отвергается.

В А Р И А Н Т Ы З А Д А Н И Й

В приведённых ниже заданиях необходимо провести статистическое исследование . Уровень значимости принять надёжность

1. При обследовании времени задержки посадки самолёта на высоте круга получены следующие данные ( мин.) :

6, 8; 2,9; 4,3; 3,9; 3,5; 3,1; 3,0; 3,2; 3,6; 4.0; 3,6; 4,4; 3,0; 5,0; 3,0; 3,0; 3,1; 3,1; 3,1 ; 6,1; 3,5; 3,5; 3,5; 4,0; 4,0; 3,9; 3,9; 4,0; 4,0; 4,0; 3,2; 3,2; 3,0; 3,0; 5,6; 3,0; 5,0; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,1; 3,1; 3,1; 3,1; 3,1; 3,2; 3,2; 3,2; 2,9.

2. При обследовании взлётной скорости самолётов получены следующие данные ( км/ч ) :

273, 280, 280, 285, 290, 298, 303, 310, 316, 320, 328, 328, 320, 320, 316, 316, 316, 310, 310, 310, 303, 303, 303, 303, 298, 298, 298, 298, 298, 285, 286, 286, 290, 292, 292, 292, 292, 298, 298, 298, 303, 303, 303, 303, 310, 310, 298, 298, 298, 298.

3. С целью увеличения эффективности пассажирских отправок исследовался вес пассажиров . Получены следующие данные (кг) :

42, 50, 50, 61, 68, 73, 80, 85, 90, 98, 56, 56, 61, 61, 61, 80, 80, 80, 85, 85, 85, 98, 98, 90, 90, 90, 68, 68, 73, 73, 73, 80, 80, 80, 80, 80, 85, 85, 85, 85, 85, 85, 80, 80, 68, 68, 73, 73, 80, 80.

4. При обследовании отклонения от расписания отправления судов и составов получены следующие данные (час.) :

-25, +3, +4, - 7, +11, +17, +25, -13, + 12, +14, +11, -13, -12, -17, +7, +7, +8, -8, +8, +7, -7, -8, -8, -1, -2, +3, +3, -1, -4, +2, +2, -1,-1, +2, +2, +1, -1, -1, +2, -3, +3, -14, -9, +3, +2, +3, -4,-7, -1,-3.

5. При обследовании количества прибывших самолётов в течение суток получены следующие данные :

70, 65, 76, 78, 74, 56, 70, 67, 60, 71, 64, 75, 79, 75, 71, 77, 62, 69, 67, 67, 73, 75, 73, 71, 77, 66, 72, 66, 63, 74, 69, 70, 71, 65, 70, 82, 67, 68, 75, 77, 67, 74, 81, 67, 73, 69, 73, 69, 73, 69.

6. При обследовании занятия взлётно-посадочной полосы одним самолётом полечены следующие данные (мин.) :

5,7, 8, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 15, 13, 13, 6, 5, 6, 6, 5, 5, 6, 5, 12, 7, 7, 7, 10, 9, 12, 9, 9, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 10, 10, 12, 8, 9, 7, 7, 7, 7, 10, 6, 5, 5, 6, 5.

7. При обследовании времени погрузки и выгрузки багажа получены следующие данные (мин.) :

14, 18, 20, 22, 26, 30, 33, 14, 14, 15, 27, 15, 15, 14, 19, 19, 19, 18, 22, 23, 23, 14, 14, 14, 15, 20, 19, 19, 18, 18, 21, 20, 21, 24, 24, 24, 25, 15, 15, 15, 14, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17.

8. При обследовании интервалов времени между прибытием самолётов на аэродроме Кинфором-Смит получены следцющие данные (мин.) :

1, 2, 3,2, 3, 4, 7, 10, 10, 13, 16, 20, 22, 22, 26, 30, 1, 2, 3, 2, 5, 8, 10, 4, 5, 5, 5, 4, 19, 17, 17, 2, 3, 3, 1, 2, 2, 4, 14, 15, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 10, 11, 11 .

9. При обследовании интервалов между прибывающими самоходными судами в Северном речном порту Москвы получены следующие данные (час.):

10, 15, 18, 20, 22, 15, 17, 18, 100, 110, 20, 20, 15, 12, 30, 50, 75, 80, 240, 200, 32, 32, 35, 40, 40, 42, 47, 46, 150, 150, 90, 85, 80, 85, 90, 50, 70, 60, 120, 130, 130, 140, 60, 62, 70, 65, 110, 100, 100, 100.

10. При обследовании работы билетного кассира получены следующие данные по времени обслуживания пассажиров (мин.):

6, 5, 7, 12, 6, 5, 7, 5, 8, 13, 5, 7, 10, 11, 5, 7, 9, 5, 7, 8, 5, 7, 8, 5, 7, 5, 7, 6, 12, 7, 8, 6, 5, 5, 12, 18, 6, 7, 5, 5, 10, 6, 7, 10, 11, 8, 7, 9, 5, 7.

11. При исследовании степени пассажировместимости городских автобусов получены следующие данные (количество пассажиров):

8, 21, 27, 31, 37, 41, 46, 51, 56, 66, 11, 12, 14, 14, 17, 18, 17, 18, 18, 21, 48, 32, 43, 42, 43, 39, 39, 38, 38, 38, 37, 23, 24, 24, 24, 24, 32, 32, 32, 33, 31, 31, 28, 28, 27, 27, 29, 29, 28, 27.

12. Из графика исполненного движения сняты следующие данные по количеству грузовых поездок в сутки :

70, 65, 76, 78, 74, 55, 70, 79, 75, 71, 77, 62, 69, 67, 77, 66, 72, 66, 63, 74, 69, 67, 68, 75, 77, 67, 74, 81, 73, 69, 64, 74, 80, 66, 68, 79, 84, 68, 72, 73, 71, 68, 71, 71, 65, 76, 78, 77, 73, 70.

13. Имеются следующие данные о размерах основных фондов предприятий (млн. руб.) :

42, 24, 49, 57, 45, 27, 39, 21, 58, 40, 35, 62, 70, 81, 37, 68, 44, 56, 63, 48, 50, 49, 43, 72, 35, 56, 35, 65, 48, 63, 7, 81, 70, 62, 35, 56, 44, 73, 28, 40, 45, 57, 24, 42, 43, 50, 20, 56, 35, 65.

14. При обследовании времени задержки вылета самолёта на предварительном старте при взлётно-посадочной полосе получены следующие данные(мин.):

4,4; 4,4; 5,0; 4,3; 5,2; 4,3; 7,3; 4,4; 4,4; 5,3; 5,7; 6,1; 6,2; 6,2; 5,6; 5,1; 5,1; 5,0; 5,4; 4,4; 5,3; 6,6; 5,6; 4,6; 5,0; 6,4; 5,9; 4,6; 5,4; 4,9;6,2; 4,4; 4,3; 4,1; 5,0; 4,3; 5,0; 5,6; 6,8; 4,3; 5,9; 6,9; 5,7; 5,6; 4,3; 4,3, 5,0; 2,3; 6,2; 6,2.

15. При обследовании посадочной скорости самолётов получены следующие данные (км/ч):

260, 250, 250, 245, 250, 280, 280, 250, 250, 270, 270, 275, 272, 272, 268, 268, 268, 248, 251, 255, 255, 255, 258, 258, 258, 255, 258, 261, 255, 261, 261, 265, 255, 258, 255, 258, 261, 255, 258, 258, 265, 255, 258, 250, 251, 255, 255, 255.

16. С целью увеличения эффективности пассажирских отправок исследовался вес багажа одного пассажира. Получены следующие данные (кг.) :

6, 15, 48, 25, 25, 14, 25, 25, 18, 19, 57, 22, 23, 24, 48, 47, 22, 33, 33, 28, 28, 28, 28, 28, 12, 18, 19, 25, 42, 8, 28, 28, 37, 37, 35, 16, 15, 14, 60, 42, 28, 28, 41, 13, 25, 26, 20, 37, 28, 32.

17. При обследовании ударно – вибрационной нагрузки на аппаратуру в самолёте получены следующие данные :

7, 40, 8, 9, 10, 11, 12, 12, 18, 19, 19, 18, 18, 36, 35, 29, 28, 30, 29, 15, 14, 16, 16, 22, 21, 23, 22, 25, 26, 24, 25, 25, 19, 18, 19, 19, 18, 31, 32, 33, 15, 14, 15, 16, 19, 18, 21, 22, 22, 23.

18. При обследовании задержки взлёта самолёта на предварительном старте при работе двух взлётно-посадочных полос получены следующие данные (мин.) :

1, 2, 3, 5, 1, 5, 2, 5, 1, 2, 5, 5, 3, 3, 9, 3, 2, 12, 4, 6, 1, 2, 2, 3, 3, 2, 18, 2, 2, 9, 3, 5, 2, 2, 14, 4, 6, 5, 5, 2, 3, 6, 6, 11, 9, 2, 4, 2, 1, 3.

19. При обследовании промежутка времени между последовательным прибытием самолётов на аэродром Дюссельдорф в течение суток получены следующие данные (мин.) :

60, 25, 25, 110, 1, 40, 20, 40, 75, 90, 5, 5, 20, 40, 20, 5, 10, 1, 5, 35, 1, 10, 25, 5, 10, 50, 5, 60, 20, 1, 5, 15, 5, 30, 5, 15, 1, 85, 5, 5, 15, 15, 5, 5, 10, 5, 50, 5, 30, 10.

20. При обследовании уровня шума в салоне самолёта получены следующие данные (дБ):

87, 86, 99, 82, 82, 86, 92, 85, 87, 86, 80, 70, 92,96, 88, 82, 80, 82, 78, 82, 80, 74, 78, 82, 64, 90, 82, 90, 82, 86, 77,78, 74, 86, 92, 86, 82, 94, 72, 84, 72, 66, 88, 78, 60, 79, 70, 80, 99, 74.

21. При обследовании отклонения по толщине деталей, горячештамповочным способом, получены следующие данные (%):

2, 2, 1, 6, 2, 3, 7, 7, 8, 3, 12, 2, 1, 8, 1, 4, 2, 3, 4, 1, 2, 6, 2, 3, 3, 4, 4, 2, 2, 3, 4, 3, 9, 8, 6, 2, 4, 5, 5, 2, 5, 2, 7, 5, 6, 3, 11, 5, 9, 9.

22. При обследовании времени обслуживания самолёта получены следующие данные (мин.):

10, 10, 15, 11, 12, 12, 14, 16, 11, 10, 20, 17, 10, 10, 12, 18, 11, 11, 10, 15, 10, 15, 11, 12, 22, 14, 16, 11, 10, 10, 10, 16, 16, 21, 17, 12, 11, 11, 10, 10, 11, 10, 11, 14, 12, 15, 14, 15, 10.

23. При обследовании продолжительности интервалов между прибывающими и отправляющимися самолётами на аэродроме Орли в течение суток получены следующие данные (мин.):

10, 2, 12, 8, 2, 2, 5, 11, 6, 19, 8, 9, 9, 2, 3, 11, 6, 6, 13, 2, 7, 2, 6, 4, 2, 2, 4, 13, 2, 1, 2, 20, 16, 7, 3, 1, 2, 5, 1, 6, 6, 1, 4, 1, 3, 3, 7, 4, 7, 4.

24. При обследовании крейсерской скорости самолётов получены следующие данные (км/ч):

830, 870, 840, 850,840, 890, 829, 855, 919, 830, 830, 855, 855, 829, 890, 840, 850, 840, 870, 830, 870, 840, 935, 830, 850, 829, 830, 870, 880, 850, 780, 890, 855, 870, 800, 935, 880, 890, 829, 935, 850, 829, 830, 800, 890, 949,855, 830, 890, 750.

25. При обследовании времени задержки вылета самолёта на предварительном старте при работе двух взлётно- посадочных полос получены следующие данные(мин.):

2, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 11, 4, 6, 10, 7, 4, 1, 1, 5, 5, 6, 1, 4, 3, 7, 3, 9, 13, 2, 8, 1, 3, 3, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 1, 2, 8, 3, 5, 4, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 4, 1.

26. При обследовании времени обнаружения отказа главной ноги шасси в самолётах типа ТУ-134 получены следующие данные(ч.):

42, 94, 1010, 1025, 113, 140, 206, 282, 308, 1002, 520, 400, 400, 350, 300, 280, 300, 310, 312, 310, 70, 1000, 350, 340, 300, 280, 200, 30, 350,340, 350, 900, 600, 710, 210, 280, 280, 300, 330, 310, 800, 380, 1000, 280, 300, 290, 400, 300, 320, 340.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1) . Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Высшая школа, 2005г.

2). Гмурман В.Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2005г.

3). Данко П.Е., Попов А.Г.,Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, - М.: Высшая школа, 2004г. Т.2.

4). Труппова В.А. , Кузнецов А.А. Обработка экспериментальных данных . Метод. Указания и расчётные задания к лабораторной работе по элементарной математической статистике. Иркутск: Из-во НИ ИрГТУ , 2006,20с.

5). Шнейдер В.Б. и др. Краткий курс высшей математики. М.: Высш. Шк. Ч 2., 1972г. 278с.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Лекция 1. Элементы теории комбинаторики. Предмет теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Относительная частота. Геометрическая вероятность ... 3

Лекция 2. Основные теоремы теории вероятности……………………………9

Лекция 3. Формула полной вероятности . Формула Байеса. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа ……………………………. 12

Лекция 4. Случайные величины ……………………………………………….15

Лекция 5. Дисперсия случайной величины ………………………………… 20

Лекция 6. Функция распределения вероятностей случайной величины……23

Лекция 7. Числовые характеристики случайных величин. Основные законы распределения дискретных случайных вели ………………………………..27 Лекция 8. . Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальный закон ……………………………………… ………………………31

Лекция 9 . Показательное ( экспоненциальное ) распределение . Закон равномерного распределения вероятностей . Закон больших чисел. Надёжность механизмов и систем………………………………………………………………….35

Лекция 10.Системы двух случайных величин. Функция распределения двумерной случайной величины. Числовые характеристики двумерной случайной величины ……………………………………………………………………………40

Лекция 11. Условные законы распределения составляющих системы дискретных и непрерывных случайных величин…………………………… ….… 45

Лекция 12. Элементы математической статистики. Предмет математической статистики. Основные понятия и определения. Задачи математической статистики………………………………………………………………………………50

Лекция 13. Точность оценки, доверительная вероятность (надёжность) . Доверительный интервал. Статистические проверки гипотез……………………56

Лекция 14. Обработка экспериментальных данных ………………………. 60

Варианты заданий …………………… ………………………………………..68

Литература……………………………………………………………………….72

75