Теорема Бернулли.
Если в каждом из n независимых испытаний вероятность появления события А постоянна , то как угодно близко к единице вероятность того , что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.
или
по другому P
, обычно принимают 0 <
.
Вывод.
Теорема Бернулли даёт ответ на вопрос:
можно ли предвидеть , какова примерно
будет относительная частота появления
события А при n
испытаниях ? Оказывается , при n
,
, то есть относительная частота будет
сколь угодно мало отличатся от постоянной
вероятности появления события в
каждом испытании.
Теорема 1 Чебышева. ( неравенство Чебышева)
Вероятность
того , что отклонение случайной величины
X
от её математического ожидания M(X)
превзойдёт по абсолютной величине
постоянное число
> 0 не больше
то есть P(
Пример. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 1000 испытаний равна 0,3. Используя неравенство Чебышева , оценить вероятность то
го , что отклонение числа наступлений этого события от математического ожидания будет более 30.
Решение.
n
= 1000
,
предположим X
- случайная величина , распределённая
по биномиальному закону M
(X
) = n
p
=1000
;
P(
Пример.
Суточный
расход воды в населённом пункте является
случайной величиной , со средним
квадратическим отклонением
Оценить вероятность того , что расход
воды в этом пункте в течение дня отклонится
от математического ожидания более , чем
на 25 000 л. по абсолютной величине.
Решение.
P
(
.
Теорема 2. Чебышева.
Если
попарно независимые случайные величины
, причём дисперсии их равномерно
ограничены ( не превышают постоянное
число с ), то как бы ни было мало
положительное число
,
вероятность неравенства
<
, будет
как угодно близка к единице, если число
случайных величин достаточно велико.
Вывод. Теорема Чебышева утверждает , что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин , имеющих ограниченные дисперсии , то достоверным можно считать событие , состоящее в том , что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым. Таким образом среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин утрачивает характер случайной величины. Объясняется это тем , что отклонение каждой величины от своих математических ожиданий могут быть как положительные так и отрицательные , а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.
На теореме Чебышева основан , широко применяемый в статистике
выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят всей совокупности исследуемых объектов.
Например, 1) . О качестве кипы хлопка заключают по небольшому пучку , состоящему из волокон , наудачу , отобранных из разных мест кипы. Хотя число волокон в пучке значительно меньше , чем в кипе , сам пучок содержит достаточно большое количество волокон , исчисляемых сотнями.