МАТЕМАТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЭЛЕМЕНТЫ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Конспект лекций

Издательство

Национального Исследовательского

Иркутского государственного Университета

20012

Рецензент : канд. физ.- мат. , доцент А.В. Колокольчиков

Теория вероятностей и элементы математической статистики. Конспект лекций / сост.: В.А.Труппова ,Б.В. Агалаков. - Иркутск: Из-во НИ ИрГТУ, 2012,73с.

Работа содержит материал лекций , прочитанных для студентов

строительного факультета. Краткое содержание элементов теории вероятности и математической статистики позволяет по новым стандартам использовать изложенный материал и для других специальностей. Это существенная помощь как студентам , так и молодым преподавателям при изучении данного раздела математики.

Знание только тогда знание, когда оно

приобретено усилиями мысли, а не

памятью.

Л.Н.Толстой

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЛЕКЦИЯ 1. Элементы теории комбинаторики. Предмет теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Относительная частота. Геометрическая вероятность

Элементы теории комбинаторики

Комбинаторика - один из разделов дискретной математики , который приобрёл важное значение в связи с использованием его в теории вероятностей , математической статистики , логике , теории чисел , вычислительной технике , кибернетики.

Комбинаторика - изучает количества комбинаций , подчинённых определённым условиям , которые можно составить из элементов , безразлично какой природы , заданного конечного множества.

Определение. Множество элементов называется упорядоченным , если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое число (номер элемента ) от 1 до n, где n – число элементов множества, так что различным элементам соответствуют различные числа. Упорядоченные множества считаются различными , если они отличаются либо своими элементами либо их порядком.

Определение. Различные упорядоченные множества , которые отличаются лишь порядком элементов (т.е. могут быть получены из того же самого множества) , называются перестановками этого множества.

Обозначают Р_n = n!

Пример. Записать все перестановки из элементов множества А={a,b,c}.

Решение. (а,b,c); (a,c,b); (b,a,c): (b,c,a); (c,a,b); (c,b,a). P₃ = 6 = 3! .

Если среди n элементов , есть n₁ элементов одного вида , n₂ – элементов другого вида и так далее , то число перестановок с повторениями

где n₁ +n₂ +….. = n

Пример. Подсчитать число различных слов , которые можно получить, переставляя буквы слова « математика».

Решение. Применяем формулу для вычисления перестановок с повторениями . При этом учитываем , что буква м повторяется 2 раза , буква а повторяется 3 раза, буква т – 2 раза , получим n = = P_n = 151200.

Определение. Размещениями называются комбинации , составленные из различных элементов некоторого множества по m элементов в каждом , которые отличаются либо составом элементов , либо их порядком.

Обозначаются

Пример1. Сколькими способами можно рассадить 4 – х учащихся на 25 местах?

Решение. = 25

Пример 2. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета , взятых по 2 ?

Решение .

Определение. Сочетаниями называются комбинации , составленные из m элементов по n элементов в каждом , которые отличаются хотя бы одним элементом или вообще не различаются.

Обозначаются

Пример. Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика , содержащего 10 деталей ?

Решение.

Предмет теории вероятностей

Наблюдаемые нами события ( явления ) можно разделить на 3 вида: достоверные, невозможные , случайные.

Определение. Достоверным называют событие , которое обязательно произойдёт , если будет осуществлена определённая совокупность условий S.

Пример. В сосуде находится вода в жидком состоянии при t = +20 - событие достоверное.

Определение. Невозможным называют событие , которое заведомо не произойдёт , если будет осуществлена совокупность условий S.

Пример. Вода в твёрдом состоянии при t = +20

Определение. Случайным называют событие , которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти , либо не произойти .

Пример. Выигрыш по лотерее.

Достоверные и невозможные события не требуют математического изучения так как они происходят или нет , предсказать их трудно , а вот для характеристики случайных событий их анализа требуется инженеру или учёному математический аппарат , который позволяет дать качественные и количественные характеристики . Оказывается , что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется вероятностным закономерностям.

Теория вероятностей и математическая статистика – это математические дисциплины , изучающие количественные закономерности случайных событий на основе массовых наблюдений.

Знание закономерностей , которым подчиняются массовые случайные события позволяет предвидеть как эти события будут протекать. Например , нельзя наперёд определить результат по одному лотерейному билету , но если их несколько , то выигрыш можно предсказать , скажем , с 0,01вероятностью.

Определение. Чтобы количественно сравнить между собой события по степени их возможности , нужно с каждым событием связать определённое число , которое тем больше , чем больше возможно событие. Такое число называется вероятностью события.

Первые задачи теории вероятностей начали изучаться в XVII – XVIII веках. Это были задачи об азартных играх. Тогдашним завсегдатаям игорных домов интересовало возможность выигрыша, далее пошли задачи при исследовании ошибок в теории артиллерийских стрельб, в военном деле при бомбардировки с самолётов и т.д. , более современные приложения теории вероятностей сейчас в химии о строении вещества , в механике – при движении тел, при радиоактивном распаде вещества . Многие производственные и экономические процессы в гражданской авиации , продолжительность безотказной работы авиационной техники, метеорологические условия , расход горючесмазочных материалов и запасных агрегатов и т. д. Поэтому для получения максимального экономического эффекта при планировании и организации необходимо принимать во внимание случайный характер различного рода процессов и применять вероятностные статистические методы.

Основные понятия теории вероятностей

Испытания , опыт, явления , Осуществление некоторых условий S.

Это основные понятия теории вероятности не подлежащие определению. (Приобретение лотерейного билета, бросание монеты).

С

A

обытие – это результат испытания . (Выигрыш машины, выпадение герба, регистрация солнечных дней). Различают элементарные – неразложимые события и составные (разложимые) события. Выпадение одного очка, выпадение 3-х очков – элементарные события. Выпадение чётного числа очков , выпадение очков > 3-х - составные события. Всякое составное событие состоит из элементарных.

1 ).Составное событие обозначается A .

2). A= - невозможное событие , не содержащее ни одного элементарного события.

3). События A и B называются эквивалентными , если они наступают или не наступают одновременно. Эквивалентные события обозначаются A = B.

4

А

). События , не наступающие при наступлении события A называются противоположными событию А и обозначаются . Противоположные события состоят из элементарных событий не

в ходящих в А.

5). Если при каждом наступлении события А наступает событие B, то говорят , что событие А влечёт событие B и обозначается так : А или В .

В

В

А

6

А

АВ В

). Произведением (пересечением) АВ двух событий А и В называется событие , заключающееся в одновременном наступлении событий А и В, обозначается

А .

7

А+В

А

В

). Суммой (объединением) А+В двух событий называется событие , заключающееся в появлении хотя бы одного из событий А или В, обозначается А . Очевидно , что А + = U – достоверное событие.

А-В

А

В

8). Разностью событий А – В называется событие , состоящее в том , что событие А происходит , а событие В не происходит . Разность А-В содержит точки , входящие в событие А и не входящие в событие В.

Определение. События называются несовместными , если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании , то есть А . Брошена монета : появление «герба» исключает появление «решки».

Определение. Несколько событий образуют полную группу , если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

Пример. Приобретены 2 билета лотереи , обязательно произойдёт одно и только одно из следующих событий :

а). Выигрыш выпал на 1-ый и не выпал на 2-й билет.

б). Выиграл второй , а первый – нет.

в). Выиграли 2 билета.

г). Не выиграли 2 билета.

Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.

Определение. События называются равновозможными , если есть основание считать , что ни одно из них не является более возможным , чем другое.

Классическое определение вероятности

Определение. Элементарные события, в которых , интересующее нас событие наступит называются , благоприятствующими этому событию.

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех n равновозможных , несовместных элементарных исходов , образующих полную группу

Свойства вероятности

1. Вероятность достоверного события равна единице , так как каждый элементарный исход благоприятствует событию . В этом случае m = n P(A) =

2). Вероятность невозможного события равна нулю , так как ни один элементарный исход не благоприятствует событию , то есть m = 0

P(A) =

3). Вероятность случайного события есть положительное число , заключённое между нулём и единицей.

Действительно , случайному событию благоприятствуют лишь часть из общего числа n исходов,то есть 0 < m < n , разделим на n, 0 < -

Пример. На карточках написаны буквы а,д,к,л,о. После тщательного перемешивания берут по одной и кладут рядом . Какова вероятность того ,что получится слово «лодка» ?

Решение. P(А) = . Всевозможных исходов будет равно числу перестановок из пяти Р₅ = 5! = 1 Благоприятный исход один m = 1

P (A) =

Определение. Относительной частотой события называют отношение числа испытаний , в которым событие появилось , к общему числу фактически произведённых испытаний W(A) = , где m – число появлений , n – общее число испытаний.

Различие между классическим определением и относительной частотой в том , что в классическом определении не требуется , чтобы испытания проводились в действительности , а относительная частота предполагает , что испытания были произведены.

Пример. По цели произведено 24 выстрела , было зарегистрировано 19 попаданий . Относительная частота W(A) = .

Замечание. Классическое определение не всегда можно применить ( число исходов бесконечно или не равновозможны исходы и условия ) .

Определение. Частоту событий называют статистической вероятностью.

Определение. Геометрическая вероятность – это вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

Пусть отрезок составляет часть отрезка L . На отрезок L наудачу поставлена точка . Вероятность попадания точки на отрезок определяется формулой

Пусть фигура g составляет часть плоскости G, на фигуру G наудачу брошена точка . Вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством

Пример. Какова вероятность того , что наудачу поставленная точка окажется внутри вписанного в него квадрата?

Р

R

ешение.

; S = 2 R² ; S = π R² .

P(A) = = .

Пример. В партии из 100 изделий 10 изделий бракованные . Какова вероятность того , что среди взятых 4 –х изделий 3 будут не бракованные ?

Решение. P(A) = . Взять 4 изделия из 100 можно n = способами. Число случаев , когда среди этих 4-х окажутся 3 не бракованные m = ; P(A) =

ЛЕКЦИЯ 2. Основные теоремы теории вероятности

. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Теорема 1. Вероятность появления одного из 2-х несовместных событий , безразлично какого , равна сумме вероятностей этих событий.

P(A+B) = P(A) + P(B)

Доказательство. Пусть n – общее число возможных испытаний ; m₁ – число благоприятных исходов события А ; m₂ - число исходов благоприятных событию B. Число исходов , благоприятных событию A+B равно) ( m₁ + m₂ ) , следовательно P(A+B) = ( m₁ + m₂ ) / n = m₁ /n + m₂ /n = P(A) + P(B) ч.т.д.

Следствие. P(A +B +C ) = P[(A +B) + C ] = P(A) + P(B) + P(C).

Пример. Производится стрельба по некоторой области D , состоящей из 3-х зон. Вероятность попадания в P(A₁ ) = ; в ; в P(A₃ ) = . Какова вероятность попасть в область D ?

Решение. Событие А – попасть в область D .

D

P(A) = P(A₁ ) + P(A₂ ) + P(A₃ ) =

II

+ +

I

+ =

Теорема2. Сумма вероятностей событий А₁ , А₂ ,…..А_n , образующих полную группу, равна единицы.

P(A) = P(A₁ ) + P(A₂ ) + P(A₃ ) ….P(A_n ) = 1.

Доказательство. Так как появление хотя бы одного события из полной группы есть событие достоверное , то P(A₁ + A₂ ….A_n ) = 1,но события полной группы не совместны , тогда по теореме 1 имеем P(A₁ + A₂ ….A_n ) = P(A₁ ) + P(A₂ ) + P(A₃ ) ….P(A_n ) , то есть левые части равны значит равны и правые

P(A₁ ) + P(A₂ ) + P(A₃ ) ….P(A_n ) = 1 ч.т.д.

Теорема 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

P(A) + P( или

Доказательство. Так как А и - полная группа , то доказательство следует из теоремы 2.

Пример. Вероятность того , что день будет дождливым 0.7 , вероятность , что день будет ясным равна 1- 0.7 = 0.3.

Определение. Событие А называется зависимым от события В , если вероятность появления события А зависит от того , произошло или не произошло событие В.

Определение . Условной вероятностью называют вероятность события В , вычисленную в предположении , что событие А уже наступило и подсчитывается по формуле = , Р(А) > 0.

Пример . В урне 3 белых и 2 чёрных шара . Из урны вынимается один шар , а затем второй . Найти вероятность того , что второй шар оказался белым ?

Решение. Пусть В – событие появления белого шара при 1-м вынимании, А – событие появление белого шара при 2-м вынимании. .

Вероятность