МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

“ КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ “

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ

З КУРСІВ “ТЕПЛОМАСООБМІН” ТА “ТЕПЛОПЕРЕДАЧА”

ДЛЯ СТУДЕНТІВ ТЕПЛОЕНЕРГЕТИЧНОГО ФАКУЛЬТЕТУ

РОБОТА № 1-3

ВИЗНАЧЕННЯ КОЕФІЦІЄНТА ТЕМПЕРАТУРОПРОВІДНОСТІ

СИПУЧИХ ТІЛ МЕТОДОМ РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМУ

КИЇВ НТУУ “КПІ“ 2011

1. Постановка завдання

Метою роботи є поглиблення знань з теорії нестаціонарної теплопровідності; вивчення методики дослідного визначення коефіцієнта температуропровідності, набуття навичок у проведенні експерименту та оцінка похибок дослідження.

У результаті виконання роботи мають бути засвоєні: фізична суть процесу нестаціонарної теплопровідності, основні положення теорії регулярного режиму та їх практичне застосування, закріплені поняття про коефіцієнти температуропровідності та теплопровідності.

При виконанні лабораторної роботи необхідно:

1. Методом регулярного режиму визначити коефіцієнт температуропровідності матеріалу, який досліджується.

2. Обчислити коефіцієнт теплопровідності цього матеріалу на підставі знайденого експерементального коефіцієнта температуропровідності.

3. Порівняти одержані результати із табличними даними.

До роботи слід приступати після ознайомлення із запропонованою інструкцією та літературними джерелами [1-4].

2. Теоретичні відомості

В найбільш загальній формі зв`язок між зміненням температури в просторі та у часі встановлюється диференційним рівнянням теплопровідності. За відсутності у тілі внутрішніх джерел тепла це рівняння має вигляд :

, (1)

де - надлишкова температура тіла, що відраховується від температури навколишнього середовища, ⁰С;

t - час, с;

- коефіцієнт температуропровідності, м²/с;

- оператор Лапласа від функції u, вираз для котрого визначається обраною системою координат.

Формула зв`язку між коефіцієнтом теплопровідності l, масовою теплоємністю , густиною r, та коефіцієнтом температуропровідності має вигляд, м²/с:

. (2)

У той час, як коефіцієнт теплопровідності l характеризує теплопровідну здатність тіл, коефіцієнт температуропровідності є мірою теплоінерційних властивостей цих тіл .

Швидкість зміни температури у часі, тобто похідна , відповідно до рівняння (1), прямопропорційна величині . Отже, за інших рівних умов, швидше нагріється або охолоне те тіло, для якого більша величина коефіцієнта температуропровідності. Крім того, більший коефіціент температуропровідності сприяє більш рівномірному нагріванню, або охолодженню всієї маси тіла.

Коефіцієнт температуропровідності, як і коефіцієнт теплопровідності, визначається дослідним шляхом. Одним із засобів визначення коефіцієнта температуропровідності є метод регулярного режиму. Основні положення цього методу полягають у наступному.

За деякого відомого початкового розподілу температури в тілі та незмінних у часі умов охолодження (t₀=const, a=const) розв`язання рівняння теплопровідності (1) може бути наведено у вигляді математичного ряду:

, (3)

де для тіла конкретної геометричної форми та розмірів, за відомих параметрів та умов охолодження :

A_n - сталі, що залежать від початкового розподілу температури;

U_n - функція, що враховує зміну температури в залежності від координат;

m_n - сталі, що являють собою ряд додатніх зростаючих чисел, тобто:

m₁ <m₂ < m₃ <...< m_n . (4)

Із аналізу рівняння (3) із врахуванням нерівності (4) випливає, що через деякий час після початку охолодження (нагрівання) тіла температура в усіх його точках буде визначатися в основному одним першим членом ряда:

. (5)

При цьому (якщо опустити індекси):

, (6)

де C = lnA₁ U₁ - функція координат.

Із фізичної точки зору увесь процес охолодження (нагрівання) можна поділити на три стадії (див. рис.1).

Перша стадія (неупорядкований нерегулярний режим охолодження) характеризується сильним впливом початкового стану тіла на його температурне поле. Залежність між u і t описується рядом (3).

Із плином часу вплив початкових умов поступово згладжується й наступає момент, коли вони практично не позначаються. Починається друга стадія - регулярний режим охолодження, за якого процес цілком визначається геометричною формою та розмірами тіла, його фізичними властивостями та умовами охолодження, а зміна температури з часом для усіх точок тіла підпорядковується єдиному експоненціальному закону (5).

Коли температура усіх точок тіла впритул наближається до температури навколишнього середовища, тобто можна констатувати, що швидкість зміни температури в тілі починає уповільнюватись, настає третя стадія - знову неупорядкований нерегулярний режим охолодження. Із плином часу температура поступово в усіх точках тіла набуде значення температури навколишнього середовища t₀. Таким чином, при тіло буде знаходитися в сталому стані t=t₀, а натуральний логарифм надлишкової температури набуде значеня “ ”.

Із рівняння (5) випливає, що у стадії регулярного режиму охолодження натуральний логарифм надлишкової температури будь якої точки тіла змінюється з часом за лінійним законом, до того ж, швидкість зміни:

, (7)

буде однакова для усіх точок тіла.

Після диференціювання за часом обох частин рівняння (6) отримаємо, 1/с:

. (8)

Величина називається темпом охолодження. Як випливає із рівняння (8), темп охолодження характеризує відносну швидкість зміни температури в тілі.

Темп охолодження, як кутовий коефіцієнт прямої (6), чисельно дорівнює тангенсу кута a (рис.1.), утвореного цією прямою із віссю t (позитивним її напрямком), тобто, 1/с:

. (9)

Якщо критерій Біо відповідає умові Ві (практично коли Ві>100) темп охолодження виявляється пропорційним коефіцієнту температуропровідності тіла, м²/с:

, (10)

де - коефіцієнт пропорційності, який залежить від форми тіла, м².

Наприклад, у випадку циліндра кінцевих розмірів із радіусом r₀ та довжиною L коефіцієнт форми тіла буде дорівнювати, м²:

, (11)

Відповідно, для кулі, якщо відомий її радіус r₀, коефіцієнт форми тіла буде дорівнювати, м²:

. (12)

Співвідношення (10) являє собою основу для експериментального визначення коефіцієнта температуропровідності матеріалів за допомогою методу регулярного режиму. При цьому експеримент зводиться до визначення темпу охолодження для зразка матеріалу із відомими формою та розмірами за умови достатньо великого значення коефіцієнта тепловіддачі і стабільної температури навколишнього середовища.