Матрично-векторная форма записи системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему линейных уравнений

и введём следующие обозначения:

А = , х = , В = .

Матрицу А называют матрицей системы линейных уравнений, х –вектор – столбец неизвестных, а В–вектор-столбец свободных членов.

Т.к. столбцов у матрицы А ровно столько, сколько координат у вектора-столбца х, то определено произведение

Теперь систему линейных уравнений можно записать в виде одного векторного равенства Ах = В.(1)

Запись решения с помощью обратной матрицы.

Особое значение имеют системы с одинаковым числом уравнений и неизвестных – системы n n. В этом случае матрица А является квадратной матрицей размера n n. Допустим, что эта матрица невырожденная, т.е. что её определитель не равен 0. Тогда для неё существует обратная матрица А^-1.

Используя эту матрицу, можно решить уравнение (2): умножая обе части уравнения (2) слева на матрицу А^-1, получаем

А^-1(Ах) = А^-1В

или, согласно сочетательному закону умножения матриц,

(А^-1А)х = А^-1В.

Но А^-1А = Е, а Ех = х. Уравнение принимает вид

х = А^-1В.

Эта формула даёт матричную запись решения.

Замечание. Не следует думать, что эта формула сильно упрощает задачу решения системы размера n n с невырожденной матрицей А. Ведь для того чтобы использовать эту формулу. Нужно сначала найти матрицу А^-1, а это само по себе есть достаточно трудная задача. Поэтому формула имеет скорее теоретическое значение. Наиболее удобным способом остаётся метод Гаусса.

Пример. Решить систему уравнений

х₁ + 3х₃ = 1