4. Лінійна залежність і незалежність векторів .
Базис системи векторів .
Розкладання вектора за базисом .
Поняття лінійної залежності і незалежності векторів , а також теореми , що їх стосуються , аналогічні відповідним поняттям і теоремам , що були сформовані для рядків матриць .
Знайдемо :
Означення . Вектор називається лінійною комбінацією векторів 1 , 2,... , n , якщо існують такі числа 1 ,2 ,... ,n , що
=1 1 + 2 2 + ... + n n .
Означення . Система векторів 1 , 2,... , к називається лінійно залежною , якщо існують числа 1 ,2 ,... ,к , які не всі водночас дорівнюють нулю , такі що
1 1 + 2 2 + ... + к к =0
Система векторів 1 , 2,... , к називається лінійно незалежною , якщо остання рівність виконується тільки в одному випадку , коли 1 ,2 ,... ,к = 0 .
Застосуємо ці поняття до геометричних векторів .
Теорема 1 . Два вектори і лінійно залежні тоді і тільки тоді , коли вони колінеарні .
Доведення .
Якщо 2 вектори неколінеарні , то вони лінійно незалежні ;
Для будь –якого вектора , що відрізняється від , і для будь –якого колінеарного йому вектора завжди можна знайти таке число , при якому
= ( 1)
Теорема 2 . Три ненульові вектори , , лінійно залежні тоді і тільки тоді , коли вони компланарні .
Доведення .
Якщо 3 вектори некомпланарні , то вони лінійно незалежні .
Для будь – яких векторів і і будь-якого компланарного їм вектора завжди можна знайти такі числа і β , при яких
= + β ( 2)
Теорема 3 . Будь – які чотири вектори лінійно залежні .
Доведення . Нехай дано 4 вектори , , , .Якщо яка – небудь трійка векторів з них компланарна , то усі 4 вектори лінійно залежні .
Нехай ніякі 3 з 4-х векторів некомпланарні.
С
Д
В
0
Е
А
Приведемо
всі вектори до загального початку- точці
0. Через кінець вектора
(т. Д)
проведемо пряму паралельну
.
Ця пряма перетне площину , в якій лежать
вектори
і
в
деякій точці Е
. Через точку
Е
проведемо
прямі , паралельні
і
Вони перетнуть прямі на яких лежать ці
вектори в точках А
і В.
Через точку Д
проведемо пряму ||ОЕ.
Ця пряма перенесе пряму, на яких лежать
вектор
,
в точці С.
Для будь-яких некомпланарних векторів , і і будь-якого вектора завжди можна знайти такі числа α, β і γ, при яких (3)
З трьох доведенних теорем випливає, що ранг (кількість незалежних векторів) системи векторів не перевищує числа 3, а саме: ранг системи колінеарних векторів дорівнює 1, ранг системи компланарних векторів дорівнює 2, ранг просторової системи векторів, в якій хочаб одна трійка векторів некомпланарна, дорівнює 3.
Означення: Базисом системи векторів називається така її підсистема, яка 1) лінійно незалежна; 2) кожен вектор системи лінійно виражається через вектори цієї підсистеми.
Кількість векторів базису співпадає з рангом системи.
З наведених теорем випливає:
В системі колінеарних векторів як базис може бути узятий будь-який ненульовий вектор . Тоді будь-який інший вектор лінійно виражається через базисний за формулою (1).
В системі компланарних векторів як базис можуть бути узяті будь-які не колінеарні вектори і . Тоді будь-який інший вектор лінійно виражається через базисні вектори за формулою (3).
В систеиі просторових векторів як базис можуть бути узяті будь-які некомпланарні вектори , і . Тоді будь-який іншй вектор лінійно виражається через базхисні вектори за формулою (3).
Формули (1), (2), (3)- це формули розкладання вектора за базисом. Коефіцієнти розкладання називаються коефіцієнтами вектора в даному базисі. В 1-му випадку координатами вектора є число α : = (α). В другоиу випадку координатами вектора є числа α, β і γ: =( α, β і γ).Таким чином , базис дає змогу кожен вектор однозначно зобразити рядком чисел – координат цього вектора . Це зображення дозволяє виконувати над векторами лінійні операції за правилами лінійних операцій над матрицями – рядками :
якщо = (α 1,α2,α3) = ( β1, β2, β3 ) в деякому базисі , то
+ = (α 1+ β1, α2 +β2, α3 +β3) ;
γ = (γα 1,γα 2,γα 3 )
Приклад . Довести , що вектори 1, 2, 3, утворюють базис у тривимірному просторі та знайти координати вектора в цьому базисі :
1= ( 3; -2 ; 1) , 2 = ( -1; 1 ; -2) ; 3 = ( 2; 1 ; -3 ) ; = ( 11 ; -6 ; 5 )
Перевіремо необхідність і дост. умову компланарності векторів 1 2 3
3 -2 1
1 2 3 = -1 1 -2 = -9 –1 + 8 –2 + 6 + 6 = 8 0 1, 2 , 3 –
2 1 -3
некомпланарні , тому вони лінійно незалежні і утворюють базис .