3.Транспортна задача (тз).

Є декілька виробників деякої однорідної продукції (цегла, цукор, харчові напівфабрикати, тощо) і декілька споживачів цієї продукції. Виробники в деяких об’ємах виробляють продукцію, а споживачі в деяких своїх об’ємах її споживають. Кожний виробник може постачати свою продукцію в принципі кожному споживачеві, що пов’язано з транспортними витратами. Перевезення продукції здійснюється певними шляхами, що накладає обмеження стосовно пропускних спроможностей.

Треба скласти план перевезення продукції, за яким були б задоволені потреби споживачів та транспортні витрати на перевезення продукції при цьому були б мінімальними.

Вихідні дані відповідають транспортній таблиці:

В₁ В₂ В₃ - споживачі

11 17 12

6 10	10 7	5 12
7 5	10 13	8 9

виробники

А₁

15

А₂

25

Праві верхні куточки таблиці – транспортні витрати – це вартість перевезень від виробника до споживача одиниці продукції.

В лівих куточках – пропускні спроможності.

Перед початком розв’язання ТЗ повинна бути збалансована: сумарний запас = сумарним потребам (якщо це не так, то є певні методи збалансування ТЗ).

Математична модель транспортної задачі.

Позначимо m – кількість виробників, n – кількість споживачів.

а₁, а₂, …, а_m – об’єми виробництва

b₁, b₂, …, b_n – потреби (об’єми споживання)

– транспортні витрати, – пропускні спроможності,

– змінні, x_ij - об’єм перевезень від і-го виробника до j-го споживача (кількість продукції від A_i до B_j)

Цільова функція – функція сумарних транспортних витрат

Обмеження (умови)

Уся продукція виробника має бути вивезена і

усі потреби мають бути задоволені..

Умова невід’ємності змінних: всі .

Це є математична модель транспортної задачі без урахування обмежень на пропускні спроможності. У математичній моделі повної транспортної задачі (з урахуванням обмежень на пропускні спроможності) все абсолютно те саме, що і в ТЗ без обмежень, тільки до умов добавляються нерівності: всі .

Аналіз і методи розв’язання транспортної задачі розглядаються окремою математичною дисципліною, яка має назву „Математичне програмування”. Зауважимо, що при побудові математичної моделі задачі природньо виникли структури данних, що мають назву матриці.

4. Задача про побудову водокачки.

Фірма має два підприємства, технологія виробництва яких вимагає використання води. Ці виробництва розташовані в пунктах А і В. Повз них протікає річка, берег якої можна вважати прямою лінією. На березі потрібно побудувати водокачку і прокласти автономні водопроводи до кожного з пунктів А і В. Вартість водопроводу прямо пропорційна його довжині. Треба визначити місце побудови водокачки, якому б відповідала мінімальна сумарна вартість водопроводу.

В

А

300 км

150 км

100 км

річка

Побудуємо математичну модель задачі. Для її побудови введемо декартову систему координат на площині.

y

В

1 50

А

100

Х

0

x

Берег річки

Позначимо через невідоме поки що місце побудови водокачці. У введеній системі координат точка має бути розташована на осі . Отже, точці буде відповідати значення дійсної змінної . Тоді сумарна відстань від точки до точок і буде визначатися формулою:

Тепер знайти потрібну точку — це все одно, що знайти значення , яке відповідало б мінімальному значенню функції , і задача про побудову водокачки зведена, таким чином, до суто математичної задачі:

.

Побудована тут функція зветься ірраціональною.

Цю задачу можна розв’язати за допомогою геометричних міркувань.

Побудуємо точку , симетричну відносно прямої , що визначає лінію берега. З’єднаємо з . Нехай — це точка перетину з .Стверджується, що ця точка є шуканою. Такий спосіб розв’язання задачі притаманний аналітичній геометрії, яка використовує геометричні міркування і алгебраїчні перетворення.

Вправа. Довести справедливість твердження щодо точки .