1. Задача про побудову збагачувальної фабрики.

Є дві шахти, на яких видобувається руда. Відстань між ними 90 км. Потужність видобутку на шахті №1 — 1000 тон на добу, на шахті №2 — 2000 тон на добу. Перед тим, як відправити руду на металургійний комбінат, її треба збагатити. Для цього між шахтами потрібно побудувати збагачувальну фабрику. В якому місці треба побудувати фабрику, щоб звести до мінімуму транспортні витрати, якщо відомо, що перевезення руди коштує 1 гр. за тонно-км

Опитування студентів перед розв’язанням задачі дає цікавий результат: переважна більшість вважає, що збагачувальну фабрику треба будувати вдвічі ближче до другої шахти (найпоширеніша думка – пропорційно потужності видобутку). Подивимось, що покажуть точні міркування і розрахунки.

Розробимо математичну модель задачі:

0 90

А В

Позначимо шахти точками А і В на числовій прямій. Введемо змінну - відстань від А до збагачувальної фабрики. Складемо функцію транспортних витрат і отримаємо математичну задачу:

Після простих очевидних перетворень отримаємо:

З вигляду функції зрозуміло, що чим більше значення набуває х, тим меншим стає значення функції. Отже x набуває найменше значення при найбільшому допустимому значенні х , тобто . Таким чином,

arg min x =90 ,

тобто: “ значення аргументу х, при якому функція f(x) набуває мінімальне значення, дорівнює 90”, а це означає, що для зведення до мінімуму транспортних витрат збагачувальну фабрику треба будувати безпосередньо в місці знаходження більш потужної шахти.

Зауважимо, що при розв’язанні задачі була використана лінійна функція

2. Задача планування виробництва в умовах обмежених ресурсів.

Деяка фірма випускає пилососи і вентилятори. Серед матеріалів, потрібних для виготовлення виробів, “критичними” є мідний дріт і трансформаторне залізо (“критичні” - означає, що саме ці матеріали знаходяться в обмеженій кількості і саме вони визначають обсяг продукції). Для виготовлення одного пилососа потрібно 0,6 кг мідного дроту і 0.3 кг трансформаторного заліза; для виготовлення 1 вентилятора - 0,3 кг мідного дроту і 0,2 кг трансформаторного заліза. В наявності є 48 кг мідного дроту і трансформаторного заліза 30 кг. Чистий прибуток від реалізації одного пилососа складає 120 умовних грошових одиниць, а 1 вентилятора - 70. Треба визначити план випуску пилососів і вентиляторів (кількість пилососів і вентиляторів, яку потрібно виробити) для якого вистачило б запасів дроту і заліза і якому відповідав би максимальний прибуток.

Побудова математичної моделі задачі.

Вводимо змінні: - кількість пилососів, - кількість вентиляторів. Тоді потрібна кількість дроту та заліза буде такою:

	дріт	залізо
х - кількість пилососів у - кількість вентиляторів	0,6х 0,3у	0,3х 0,2у

(для одного потрібно 0,6 кг, а для х=0,6х).

Сумарна потрібна кількість дроту та заліза не повинна перевищувати їх запасів. Звідси отримуємо умови:

.

Цільова функція задачі - це функція прибутку від реалізації х пилососів і у вентиляторів. Цю функцію ми назвемо :

.

Прибуток (функцію ) ми хочемо максимізувати; отже маємо задачу пошуку екстремуму, а саме, максимуму (max), лінійної функції за умов, які є лінійними нерівностями, тобто лінійну оптимізаційну задачу. Її розв’язання буде дане в §4.