10. Задачі до тем „Функції” , „Збіжність і границі функцій”
10.1. Дослідити функції без використання засобів вищої математики (границі, похідні), побудувати графіки функцій:
;
; 
; 
;
;
; 
; 
;
; 
;
;
,
;
;
;
10.2.
Знайти функцію
, якщо
.
10.3. Знайти границі функцій:
10.3.1)
,
10.3.2)
,
10.3.3)
,
10.3.4)
,
10.3.5)
,
10.3.6)
,
10.3.7)
, 10.3.8)
,
10.3.9)
, 10.3.10)
,
10.3.11).
,
10.3.12)
;
10.3.13)
N)
;
10.3.14) 
N),
10.3.15) 
N)
.
10.4. Дослідити
поведінку коренів
і
квадратного рівняння
,
у якого старший коеффіцієнт прямує до
нуля:
,
а коеффіцієнти
сталі, причому
.
10.5. Знайти асимптоти функцій, виконати потрібне обґрунтування, побудувати графіки:
10.5.1.
,
10.5.2.
,
10.5.3.
, 10.5.4.
.
10.6. Довести, виходячи з означення границі функції, властивості операції обчислення границі для суми, різниці, добутку, частки функцій.
10.7. Довести, виходячи з означення, властивості неперервних функцій:
10.7.1.
Будь-яка
стала функція (тотожня константа)
є
неперервною функцією всюди;
10.7.2.
Тотожня функція
є неперервною функцією всюди;
10.7.3.
Будь-яка
степенева функція
N
є неперервною
функцією всюди.
10.7.4.Будь-який
многочлен
є неперервною
функцією всюди;
10.7.5.
Корені натурального степеня
N
є неперервними
функціями в кожній точці своєї області
визначення;
10.7.6.Тригонометричні
функції
і
є неперервними функціями всюди;
10.7.7.Показникова
функція
є неперервною функцією всюди;
10.7.8.Логарифмічна
функція
є неперервною функцією в кожній точці
своєї області визначення.
11. Задачі до теми „Похідна” .
11.1. Відновити графік функції за графіком похідної.
(Відомо також, що f(x)>0 для всіх х D(f(x))
Графік похідної |
y
a
x
|
a
x b
|
y
x
|
1
2
y
3
В одній і тій самій системі координат побудувати графіки функції та її похідної:
11.2.1)
;
11.2.2)
;
11.2.3)
;
11.2.4) ; 11.2.5) ; 11.2.6) ;
11.2.7) ; 11.2.8) .
Знайти точки екстремуму.
Для даних функцій f(x) обчислити їх похідні, а також відшукати такі функції F(x), що
=f(x):
11.3.1)
;
11.3.2)
;
11.3.3)
;
11.3.4)
;
11.3.5)
;
11.3.6)
;
11.3.7)
;
11.3.8)
;
11.3.9)
;
11.3.10)
;
11.3.11)
;
11.3.12)
;
11.3.13)
;
11.3.14)
;
11.3.15)
.
11.4. Обчислити похідні складених функцій за ланцюговим правилом:
11.4.1)
;
11.4.2)
;
11.4.3)
;
11.4. 4)
;
11.4. 5)
;
11.4. 6)
;
11.4.7)
.
11.5. Обчислити похідні функцій з використанням логарифмічної похідної:
11.5.1)
;
11.5.2)
;
11.5.3)
;
11.5.4)
.
11.6. Знайти
за означенням рівняння дотичної до
графіку функції
у точці
,
супроводжуючи розв’язання задачі
графічною ілюстрацією:
а) 
, 
;
б)
, 
;
в) 
, 
;
г)
, 
;
д) 
, 
;
11.7. Звести наступні задачі до пошуку екстремуму відповідної функції і розв’язати за допомогою похідної; намалювати графіки відповідних функцій:
а)
задача про наднормові деталі, 
;
б)
задача про експлуатацію теплоходу, 
за годину;
з якою швидкістю має йти теплохід, щоб собівартість одного кілометру шліху була мінімальною?
в) визначити розміри коробки об’єму 108 см3 з квадратним дном, відкритої зверху, так, щоб на її виготовлення було потрібно мінімум матеріалу;
г) є матеріал на виготовлення 60 м огорожі. Яку найбільшу ділянку прямокутної площі можна їм огородити?
д) є матеріал на виготовлення 60 м огорожі. Яку найбільшу ділянку прямокутної площі можна їм огородити, якщо ділянка прилягає до стіни іншої споруди?