Задачі з математичного аналізу.

(до §§14—21)

9. Задачі до тем „Числа” , „Збіжність і границі числових

послідовностей”

9.1. Порівняти числа:

і ; і .

9.2. Довести ірраціональність чисел: ; .

9.3. Довести раціональність чисел:

; .

9.3. Довести справедливість тверджень:

9.3.1. Сума раціонального і ірраціонального чисел є завжди число ірраціональне;

9.3.2. Частка від ділення раціонального і ірраціонального чисел є завжди число ірраціональне;

9.3.3. Сума раціонального і ірраціонального чисел є завжди число ірраціональне;

9.3.3. Добуток раціонального і ірраціонального чисел не завжди є число ірраціональне.

9.4. Відшукати „екстремальні” числа:

9.4.1. Число 12 розкласти на два доданка так, щоб сума їх квадратів була найменшою;

9.4.2. Число 12 розкласти на два множника так, щоб сума їх квадратів була найменшою.

9.4.3. Із всіх прямокутників даного периметра P знайти прямокутник з найбільшою площею.

9.5. Вказати всі значення величин , для яких виконується умова:

9.5.1. ;

9.5.2. ;

9.5.3. ;

9.5.4. ?

9.6. Розв’язати нерівності, множину розв’язків відобразити на числовій осі:

; ; ; ;

.

9.7. Встановити, які з чисел: 17, 215, 36 є членами послідовності ; для відповідних чисел вказати їх номер.

9.8. Вказати формулу загального члена послідовності:

9.8.1) 4, 9, 16, 25, 36, ... ;

9.8.2) ;

9.8.3) 1; -1; 1; -1; 1; -1; 1; -1; 1; -1; ... ;

9.8,4) .

9.9. Знайти найбільший член послідовності:

9.9.1) ;

9.9.2) ;

9.9.3) ;

9.9.4) .

9.10. Подати раціональні числа у вигляді десяткових періодичних дробів; перевірити правильність виконаних перетворень, використовуючи перетворення десяткових періодичних дробів у звичайні дроби, що грунтується на обчисленні суми всіх членів нескінченно спадної геометричної прогресії :

9.10.1) , 9.10.2) , 9.10.3) .

9.11. Обчислити границі числових послідовностей :

9.11.1) , 9.1.2) , 9.11.3) ,

9.11.4) ,

9.11.5) ,

9.11.6) .

9.11.7) , де (n послідовно вкладених радикалів),

9.11.8) ,

9.11.9) ,

9.11.10) .

9.12. Довести властивості операції граничного переходу для

9.12.1) різниці двох послідовностей (репродуктивний рівень);

9.12.2) добутку двох послідовностей ( творчий рівень);

9.12.3) частки двох послідовностей ( творчий рівень).

13. Завершити формулювання тверджень і дати їх повне доведення (творчий рівень):

9.13.1) Нехай послідовність є збіжною, а послідовність розбігається. Тоді послідовність ………..

9.13.2) Нехай послідовність є збіжною, а послідовність розбігається. Тоді послідовність ………..

9.13.3) Нехай обидві послідовності і розбігаються. Тоді послідовність ………..

9.13.4) Нехай обидві послідовності і розбігаються. Тоді послідовність ………..

9.14. Довести, що коли послідовність збігається, то послідовність її середніх арифметичних , також є збіжною, причому . Зворотнє твердження, взагалі кажучи, невірне (творчий рівень).