6. Задачі до теми „Матрична алгебра”.

6.1. Довести аддитивність операції множення матриць.

6.2. Довести ассоціативність операції множення матриць.

6.3. Довести, що мають місце формули:

6.4. Використовуючи теорему і правило Крамера, дати виведення детермінантної формули для обчислення оберненої матриці.

6.5. Для заданих матриць вказати всі можливі пари матриць, для яких існує добуток, вказати порядок множення і розміри добутку.

6.6. Довести, що якщо обернені матриці до матриць і є перестановочні, то й самі матриці і також є перестановочні.

6.7. Знайти загальний вигляд всіх матриць, перестановочних з даною матрицею . Результат підтвердити безпосередньою перевіркою. 6.8. Для даної матриці знайти обернену матрицю а)за допомогою детермінантної формули; б)за методом Гаусса. Результат підтвердити безпосередньою перевіркою; .

6.9. Розв’язати матричне рівняння. Результат підтвердити безпосередньою перевіркою.

6.9.1. ,

6.9.2. .

6.10. Знайти таку матрицю , множення на яку будь-якої матриці розмірів х еквівалентно перестановці (транспозиції) в матриці -го і -го рядків. Результат підтвердити безпосередньою перевіркою.

6.11. Знайти розв’язок (частинний, загальний) системи лінійних рівнянь методом оберненої матриці

6.11.1. ,

6.11.2. .

7. Задачі до теми „Визначники”.

7.1. Чи існує перестановка чисел , кількість інверсій якої дорівнює ? Якщо “так”, вказати таку перестановку.

7.2. Встановити, чи входить даний добуток у визначник відповідного порядку. Якщо “ні”,— чому; якщо “так”,— з яким знаком:

7.2.1. ,

7.2.2. .

7.3. Довести, що визначник добутку двох матриць дорівнює добуткові визначників цих матриць (для випадків квадратних матриць другого та третього порядків загального виду).

7.4. Довести, виходячи з означення визначника, що спільний множник елементів третього стовпчика визначника го порядку можна винести за знак визначника. Дати формульний вираз цієї властивості.

7.5. Довести, що з властивості

при перестановці двох довільних стовпчиків визначник -го порядку

змінює знак із збереженням абсолютної величини свого значення

випливає властивість:

визначник -го порядку, що має два однакові стовпчики, дорівнює .

7.6. Довести, що з властивості

при перестановці двох довільних рядків визначник -го порядку

змінює знак із збереженням абсолютної величини свого значення

випливає властивість:

визначник -го порядку, що має два однакові рядки, дорівнює .

7.7. Обчислити визначник за означенням:

.

7.8. Обчислити визначники го порядку:

7.8.1. , 7.8.2. ,

7.8.3. , 7.8.4. .

8. Задачі до теми „Лінійна залежність і незалежність”.

8.1. За допомогою методу Гауса встановити лінійну залежність рівнянь даної системи:

,

перевірити висновок безпосередньо за означенням лінійної залежності.

8.2. Довести справедливість тверджень:

• два вектори в ℝ² лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні;

• два вектори в ℝ² лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли визначник, складений з їх координат, дорівнює 0;

• три і більше векторів в ℝ² лінійно залежні завжди.

8.3. Довести справедливість тверджень:

• три вектори в ℝ³ лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони компланарні;

• три вектори в ℝ³ лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли визначник, складений з їх координат, дорівнює 0;

• чотири і більше векторів в ℝ³ лінійно залежні завжди.

8.4. Довести справедливість тверджень:

1) Якщо система векторів містить 0-вектор, то вона лінійно залежна;

2) Якщо система векторів містить два однакових вектори, то вона лінійно залежна;

3) Якщо система векторів містить два пропорційних вектори, то вона лінійно залежна;

4) Якщо система векторів містить лінійно залежну систему векторів, то вона лінійно залежна;

5) Будь-яка підсистема лінійно незалежної системи сама є лінійно незалежною;

6) Якщо система вкорочених векторів лінійно незалежна, то й сама система також лінійно незалежна;

7) Якщо система векторів лінійно залежна, то й система вкорочених векторів також є лінійно залежною;

8) Якщо три вектори a₁, a₂, a₃ лінійно залежні і вектор a₃ не виражається лінійно через вектори a₁ і a₂, то вектори a₁ і a₂ відрізняються між собою лише числовим множником.

9) Якщо вектори a₁, a₂,…, a_k лінійно незалежні, а вектори a₁, a₂,…, a_k, b лінійно залежні, то вектор b лінійно виражається через вектори a₁, a₂,…, a_k.

8.5. Знайти ранг і всі базиси системи векторів

.

8.6. Довести безпосередньо за означенням, що вектори одиничного базису n-вимірного векторного простору

є лінійно незалежною системою векторів.

8.7. Знайти фундаментальну систему розв’язків системи лінійних рівнянь:

.