4.32. Знайти проекцію точки на пряму

4.33. Знайти точку , симетричну точці відносно прямої

434. Знайти точку , симетричну точці відносно прямої, що проходить через точки і

4.35. Знайти проекцію точки на площину

4.36. Знайти точку , симетричну точці відносно площини

4.37. На площині знайти таку точку, сума відстаней від якої до точок і була б найменшою.

4.38. На площині знайти таку точку , різниця відстаней від якої до точок і була б найбільшою (по модулю).

4.39. Точка рухається прямолінійно і рівномірно з початкового положення зі швидкістю в напрямку вектора . Переконавшись, що траєкторія точки перетинає площину , знайти:

1. точку їх перетину;

2. час, затрачений на рух точки від до

3. довжину відрізка

4.40. Обчислити відстань між двома прямими в кожному з наступних випадків:

1. 

2. 

3. 

4)

Задачі з лінійної алгебри

(до §§8 — 13)

5. Задачі до теми „Системи лінійних рівнянь і -вимірні вектори”.

5.1. Скласти системи лінійних рівнянь для розв’язання задач:

5.1.1. Які довжини мають сторони чотирикутника, якщо їх сума дорівнює 40 м, а сума довжин трьох перших сторін на 20 м більша за довжину четвертої сторони?

5.1.2. Скількома і якими способами можна сплатити 2гр. 20коп. монетами вартістю в 5, 10 та 25коп.?

5.1.3. Якими можуть бути чотири числа, якщо сума будь-яких трьох з них дорівнює 1?

5.1.4. Якими можуть бути чотири числа, якщо сума будь-яких двох з них дорівнює 1?

5.1.5. На будівництві деякої споруди є чотири бетономішалки продуктивністю відповідно 20, 12, 15 і 10 тонн бетону за годину. Треба протягом трьох днів щоденно випускати по 120 тонн бетону з дотриманням таких умов: 1) найменш продуктивна бетономішалка працює щоденно, а кожна інша по два дні; 2) одночасно працює три бетономішалки; 3) кількість робочих годин бетономішалки одна і та сама для всіх робочих днів. Скільки годин має працювати кожна бетономішалка?

5.1.6. Якою може бути послідовність з чисел, якщо сума кожних двох сусідніх членів цієї послідовності дорівнює нулю і таке саме виконується для першого і останнього членів?

5.1.7. На лузі росте трава. На цей луг пустили 30 корів, які за 4 дні з’їли всю траву. Коли на лузі знову виросла трава, на нього пустили 25 корів, які з’їли всю траву за 6 днів. Яка найбільша кількість корів може пастися на лузі весь час (поки взагалі росте трава)?

5.1.8. У трьох посудинах міститься по 100 г розчинів кислоти: у першій — 70-процентної, у другій — 60-процентної, у третій — 30-процентної. Змішуючи ці розчини, треба отримати 250 г розчину кислоти. Яку найбільшу і яку найменшу концентрацію може мати отриманий розчин? Як отримати 250 г 55-процентної кислоти?

5.1.9. На станцію привезли ешелон з 420 тоннами вугілля у вагонах місткістю 15 т, 20 т, 25 т. Скільки яких вагонів (кожного типу) було викори­стано, якщо відомо, що всього було 27 вагонів?

5.1.10. На виробництві виготовляються деталі чотирьох видів для будівельних конструкцій. Для виробництва використовуються ресурси: матеріали, робоча сила і електроенергія. Технологічна матриця виробництва має вигляд:

Стовпчики матриці відповідають видам деталей, рядки — видам ресурсів, елементи матриці — витрати відповідного ресурсу на одну деталь відповідного виду.

Визначити, яку кількість деталей кожного виду можна виробити при наявних ресурсах матеріалів, робочої сили та електроенергії відповідно 28, 47 і 32.

5.2. Розв’язати системи лінійних рівнянь:

5.2.1. , 5.2.2. ,

5.2.3. , 5.2.4. ,

5.2.5. , 5.2.6. ,

5.2.7. , 5.2.8.

5.2.12-21. Розв’язати системи лінійних рівнянь з розділу 5.1.

5.3. Інтерполяційні задачі.

5.3.1. Знайти значення невідомих коефіцієнтів квадратного тричлена , якщо відомо, що .

5.3.2.Відомо, що розв’язками квадратної системи лінійних рівнянь з вектором-стовпчиком вільних членів є вектори і . Знайти вигляд основної матриці системи.

5.3.3.Знайти вигляд однорідної системи лінійних рівнянь, якщо відомо, що її розв’язками є вектори .

5.4. Дослідження систем лінійних рівнянь.

5.4.1. Вказати всі значення параметру , при яких система лінійних рівнянь:

а) є несумісною;

б) має єдиний розв’язок;

в) має безліч розв’язків.

5.4.1.1. , 5.4.1.2. ,

5.4. 1.3. , 5.4. 1.4. .

5.4.2. Знайти всі значення параметру , при яких дана система лінійних рівнянь:

а) може бути розв’язана за правилом Крамера. Знайти розв’язок системи лінійних рівнянь за правилом Крамера для знайдених значень параметру ;

б) є сумісною, але її розв’язок не можна знайти за правилом Крамера;

в) є несумісною;

г) має нескінченну множину розв’язків. Для одного з таких значень параметру знайти загальний розв’язок системи лінійних рівнянь.

5.4. 2.1. , 5.4.2.2. .

5.4.3. Вказати, скільки різних загальних розв’язків має дана система лінійних рівнянь.

Для кожного загального розв’язку вказати відповідний набір базисних змінних і набір вільних змінних.

5.4.4. Вказати всі значення параметра , при яких загальні розв’язки даної системи лінійних рівнянь мають відповідно вільних змінних.

.

5.4.5. Встановити, чи мають дві вказані системи лінійних рівнянь одну і ту саму множину розв’язків

,

5.5. Застосування теорії систем лінійних рівнянь для розв’язання багатовимірних задач лінійного програмування.

5.5.1. Розв’язавши відносно , СЛР, що входить до складу ЗЛП

і використовуючи знайдений загальний розв’язок, перейти від даної ЗЛП до ЗЛП від двох змінних; розв’язати отриману ЗЛП засобами аналітичної геометрії; вказати оптимальні розв’язки початкової ЗЛП (з чотирма змінними).

Вимоги до розв’язання:

1) СЛР розв’язати трьома способами:

а) методом Гаусса;

б) за правилом Крамера;

в) методом оберненої матриці (при цьому обернену матрицю знайти двома способами: за детермінантною формулою і за методом Гаусса; правильність обчислення оберненої матриці перевірити відповідно до означення оберненої матриці).

2) При розв’язанні ЗЛП зробити малюнок допустимої множини, лінії рівня цільової функції з вказанням напрямків зростання і спадання; точно обчислити координати кутових точок допустимої множини.

5.5.2. Звести дану задачу лінійного програмування від -и змінних до задачі лінійного програмування від -х змінних, яку розв’язати засобами аналітичної геометрії

5.6. Встановлення і доведення властивостей систем лінійних рівнянь.

5.6.1. Нехай — два різні -вимірні вектори. Довести, що , де .

5.6.2. Нехай — два довільні -вимірні вектори. Довести, виходячи тільки з означення системи лінійних рівнянь і з означення розв’язку системи лінійних рівнянь, що вектор буде розв’язком всякої системи лінійних рівнянь, розв’язками якої є вектори .

5.6.3. Довести, що коли множина розв’язків деякої системи лінійних рівнянь замкнена відносно операції множення вектора на число, то ця система лінійних рівнянь неодмінно має бути однорідною.

5.6.4. Довести, що коли множина розв’язків деякої системи лінійних рівнянь замкнена відносно операції додавання векторів, то ця система лінійних рівнянь неодмінно має бути однорідною.

5.6.5. Дати повне виведення правила Крамера для системи лінійних рівнянь розмірів .

5.6.6. Довести, виходячи тільки з означення системи лінійних рівнянь, означення розв’язку системи лінійних рівнянь і означення еквівалентних систем лінійних рівнянь, що перетворення є еквівалентним перетворенням системи лінійних рівнянь.

5.6.7. Нехай відомо, що деяка система лінійних рівнянь є сумісною, причому має неєдиний розв’язок. Довести, що алгоритм методу Гаусса перетворить цю систему лінійних рівнянь у таку систему лінійних рівнянь, яка має рівнянь менше, аніж невідомих.