Збірник задач і вправ Задачі з аналітичної геометрії.

(до §§1—7)

1. Найпростіші задачі з аналітичної геометрії.

1.1. Дано точку . Знайти координати:

1. точки , симетричної М відносно осі ;

2. Точки , симетричної м відносно осі ;

3. точки , симетричної М відносно початку координат.

1.2. Знайти координати вершин квадрата для вказаних випадків розташування системи координат. Сторона квадрата дорівнює .

а) в) с)

1.3. Використовуючи узагальнення теореми Піфагора (теорему косинусів), визначити тип трикутника (гострокутний, прямокутний, тупокутний) при а) ; б) .

1.4. На осі знайти точку, рівновіддалену від точок .

1.5. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки , типів: а) канонічне рівняння прямої, що проходить через дві задані точки; б) загальне; в) з кутовим коефіцієнтом; г) у відрізках.

1.6. Відрізок поділено на чотири рівні частини. Обчислити координати точок ділення.

1.7. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку на однакових відстанях від точок .

1.8. Скласти рівняння сторін і медіан трикутника з вершинами .

1.9. Переконатися засобами аналітичної геометрії у справедливості теореми про перетин медіан трикутника в одній точці для трикутника .

1.10. Дано три вершини паралелограма . Знайти його четверту вершину (два способи: з використанням рівнянь прямих і з використанням ділення відрізка).

1.11. Переконатись, що точки лежать на одній прямій.

1.12. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку і відтинає від координатного кута трикутник площиною 2 кв.од.

1.13. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку і відтинає на координатних осях відрізки однакової довжини.

1.14. Відрізок поділено на п’ять рівних частин. Обчислити координати точок ділення.

1.15. Довести, що трикутник з вершинами рівнобедрений.

1.16. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку і відтинає на координатних осях відрізки однакової довжини.

2. Найпростіші задачі для розв’язання з використанням векторної алгебри.

2.1. Встановити, які з наведених пар прямих є парою паралельних або парою перпендикулярних прямих:

2.2. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку і паралельна прямій .

2.3. Дано три вершини паралелограма . Знайти його четверту вершину.

2.4. Дано три вершини паралелограма . Знайти його четверту вершину.

2.5. Переконатись, що точки лежать на одній прямій; встановити, які із заданих точок є крайніми і яка є проміжною.

2.6. Знайти проекцію точки на пряму .

2.7. Знайти точку , симетричну точці відносно прямої .

2.8. Скласти рівняння сторін, висот і медіан трикутника з вершинами в точках .

2.9. Перевірити, чи є точки вершинами трапеції.

2.10. Довести, що вектор перпендикулярний вектору .

2.11. Яку умову мають задовольняти вектори і , щоби вектор був перпендикулярний вектору ?

2.12. Дано вектори і , причому відомо що . При якому значенні параметру вектор буде перпендикулярний вектору ?

2.13. Довести, що трикутник з вершинами прямокутний.

2.14. Встановити тип трикутника (гострокутний, прямокутний, тупокутний) з вершинами .

2.15. Дано точки . Пересвідчитись, що вектори і колінеарні; встановити, який з них є довший і в скільки разів; як вони направлені — в один і той самий чи у протилежні боки.

2.16. Встановити, які з наведених пар рівнянь визначають паралельні або перпендикулярні площини, у випадку паралельних площин знайти відстань між ними: