Линейные балансовые модели

Представленный тип математических моделей широко применяется в экономико-математических исследованиях и одновременно представляет собой характерный пример тех задач, когда матричное решение СЛАУ является целесообразным и полезным.

Рассматриваемая экономическая система состоит из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее для данной системы потребление (конечный продукт), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов, комплектующих изделий в других отраслях (в том числе и в данной). Эту часть продукции называют производственным, или внутренним потреблением. Поэтому каждая из отраслей выступает и как производящая продукцию (вертикальные столбцы табл. 1) и как ее потребитель (горизонтальные табл. 1).

Таблица 1

Номера отраслей		Потребление						Итого на внутреннее потребление		Конечный продукт	Валовый выпуск
		1	2	...		...
Производство	1			...		...
	2			...		...
	...	...	...	...	...	...	...	...		...	...
				...		...
	...	...	...	...	...	...	...	...		...	...
				...		...
				...		...

Обозначим через валовый выпуск продукции -й отрасли за планируемый период, а через - конечный продукт, идущий на внешнее потребление. Совокупность этих значений по всем отраслям условно назовем соответственно валовым вектором, или вектор-планом , и ассортиментным вектором :

.

В этом случае разность векторов определяет часть продукции, идущей на внутреннее потребление. Обозначим через часть продукции -ой отрасли, потребляемой -й отраслью для обеспечения выпуска ее продукции в размере . Все обозначения сведем в табл. 1. Будем в дальнейшем считать, что все названные величины даются не в натуральном, а в стоимостном их выражении.

Образуем следующее векторное тождество, называемое балансовым равенством:

.

(1)

Нами уже отмечалось, что выражение, заключенное в скобки, отражает затраты на внутреннее потребление по всем отраслям. Для каждой отрасли внутренние затраты представляют собой сумму всех элементов соответствующей строки табл. 1. С учетом этого обстоятельства, выражение (1) может быть развернуто по строкам следующим образом:

(2)

Основная задача балансовых исследований состоит в том, чтобы на базе данных об использовании баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.

Будем снабжать верхним штрихом данные, относящиеся к истекшему периоду, т.е. по всем . Все они, как относящиеся к истекшему периоду, считаются известными. Для планируемого же периода заданными считаются координаты ассортиментного вектора . Используя эти известные величины совместно, требуется определить координаты планируемого валового вектора и все составляющие внутреннего потребления . Введем в рассмотрение безразмерные величины , называемые технологическими коэффициентами, или коэффициентами прямых затрат. Они задаются соотношениями:

(3)

и определяют затраты -й отрасли, используемые -й отраслью. В основу возможности решения поставленной балансовой задачи заложено допущение о неизменности технологии на истекшем и планируемом этапах производства во всех отраслях. Это дает основание записать следующие равенства:

.

Отсюда следует

(4)

Подставляя (4) в (2), получаем:

(5)

Все , рассчитанные по формуле (3), могут быть сведены в матрицу размером - так называемую матрицу прямых затрат, или технологическую матрицу:

.

Рассмотрение структуры соотношений (5) показывает, что мы имеем СЛАУ из уравнений относительно неизвестных , т.е. систему . Математически доказано, что для реально существующих значений и система (5) всегда является определенной. С помощью алгебры матриц ей можно придать компактное выражение. В самом деле, в матричном виде систему (5) можно представить так:

, или

.

(6)

Матрица коэффициентов при неизвестных будет иметь вид

.

Для такой матрицы в определенной СЛАУ обратная матрица всегда существует. Обозначим ее через :

.

Тогда решением СЛАУ (6) будет

.

(7)

И далее, используя соотношения (4), можно найти все . Поставленная задача решена. Отметим, что соотношение (7) можно использовать для разных задаваемых .

Пример 1. Рассмотрим простой случай, для , исходные данные по которому за истекший период представлены в табл. 2

Таблица 2

Номера отраслей		Потребление		Итого на внутреннее потребление	Конечный продукт		Валовый выпуск
		1	2
Производство	1	100	160	260	240		500
	2	275	40	315	85		400
Итого затраты на -ю отрасль		375	200	575

По данным этой таблицы подсчитаем коэффициенты прямых затрат:

; ;

; .

Таким образом,

; .

Обратим матрицу :

.

Таким образом, .

Зададимся теперь каким-либо ассортиментным вектором на планируемый период. Пусть, например, .

Тогда

или и . Все совпадут с данными табл. 2.2. Если вектор задать другим, например, , ответ получился бы равным . Все по сравнению с относящимися к ним данным табл. 2.2 будут удвоены и т.д.

Проанализируем теперь полученную матрицу . Ей можно придать вполне определенное экономическое содержание. Представим себе мысленно, что производится только одна единица конечного продукта первой отрасли: .

Подставляя этот вектор в (7), имеем

(первый столбец матрицы ).

Зададимся теперь ассортиментным вектором .

Тогда (второй столбец матрицы ).

Очевидно, что так будет и для последующих столбцов матрицы . Что же из всего этого следует? А то, что для выпуска одной единицы конечной продукции в некоторой -й отрасли необходимо в первой отрасли выпустить , а в -й - единиц продукции. На этом основании матрица , объединяющая все значения , получила название матрицы полных затрат. Сравним содержимое известной нам матрицы прямых затрат с содержимым матрицы . Мы обнаружим, что везде проявляется условие: .

Такое свойство не случайно. Дело в том, что в матрице учтена лишь та часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно -й отраслью. Но ведь необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Ведь если бы продукция -й отрасли поступала только в -ю отрасль в количестве -й, то производство -ой отрасли все равно не было бы обеспечено - потребовались бы еще продукты первой , второй отраслей и т.д. А они, в свою очередь, не смогут работать, если не будут получать продукцию той же -й отрасли . Все переплетено и взаимоувязано. Так вот, матрица полных затрат опосредовано учитывает все эти взаимосвязи, отчего и получила свое название.

Вычтем теперь матрицу из (в данном случае это возможно, ибо матрицы одинаковой размерности). Получающаяся в результате такого вычисления матрица получила название матрицы косвенных затрат. Она как раз и учитывает те дополнительные затраты по отношению к прямым, которые «набегают» за счет опосредованного (косвенного) влияния отраслей друг на друга:

,

в нашем конкретном примере

.

Таким образом, косвенные затраты по сравнению с прямыми могут оказаться довольно ощутимыми.

Более подробно сведения о балансовых моделях рассматриваются в специальных курсах.

Отметим, что в реальных задачах приходится иметь дело не с тремя отраслями, а с десятками, а то и сотнями. Решение таких задач немыслимо без использования компьютеров и соответствующего программного обеспечения.