2. Решение задач на сложение и умножение вероятностей

2.1. Разобрать решение задач, заполнив пропуски

Задача1. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлены 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие ).

Решение.

1 способ.

Требование – хотя бы один из взятых 3-х учебников окажется в переплете – будет осуществлено, если произойдет любое из следующих несовместных событий:

событие – один учебник в переплете, два без переплета;

событие – два учебника в переплете, один без переплета;

событие – три учебника в переплете.

Интересующее нас событие (хотя бы один из взятых учебников в переплете) можно представить в виде суммы этих событий:

.

По теореме сложения несовместных событий: .

Найдем вероятности событий , , по формуле: .

.

2 способ.

События – «хотя бы один из взятых трех учебников имеет переплет» и – «ни один из взятых трех учебников не имеет переплета» - противоположные, поэтому (сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1).

.

Вероятность появления события (ни один из взятых учебников не имеет переплета) равна:

Тогда искомая вероятность:

Задача 2. На 30 одинаковых жетонах написаны 30 двузначных чисел от 1 до 30. Жетоны помещены в пакет и тщательно перемешаны. Какова вероятность вынуть жетон с номером, кратным 2 или 3(событие )?

Решение.

Обозначим события:

событие – извлечен жетон с четным номером;

событие – извлечен жетон с номером, кратным 3.

Интересующее нас событие можно представить в виде суммы этих событий: .

События и совместны, значит: .

Вероятность событий и _, по формуле классической вероятности соответственно равны

Т.е.

Задача 3. В цехе работают 7 мужчин и три женщины. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.

Решение.

Введем обозначения событий:

событие – первым отобран мужчина;

событие – вторым отобран мужчина;

событие – третьим отобран мужчина.

Вероятность что, что первым будет отобран мужчина, равна:

Вероятность того, что вторым будет отобран мужчина, при условии, что первым уже был отобран мужчина, равна:

Вероятность того, что третьим будет отобран мужчина, при условии, что уже отобраны двое мужчин, равна:

Искомая вероятность того, что все три отобранных лица окажутся мужчинами, равна

Задача 4. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что 2 наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.

Решение.

1 способ.

Событие – первый билет выиграл.

Событие – второй билет выиграл.

Вероятность того, что первый билет выиграл .

Вероятность, что второй билет выиграл, при условии, что первый выиграл .

Вероятность выигрыша двух билетов:

2 способ.

Событие – оба билета выигрышные.

Задача 5. Для сигнализации об аварии установлено два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

Решение.

Введем обозначения событий:

событие – сработает первый сигнализатор;

событие – сработает второй сигнализатор;

событие – появилось только событие ;

событие – появилось только событие .

Из условия задачи следует, что и .

Появление события равносильно появлению события , т.е. .

Появление события равносильно появлению события , т.е. .

Таким образом, чтобы найти вероятность появления хотя бы одного из событий и , достаточно найти вероятность появления одного, безразлично какого из событий и .

События и несовместные, поэтому

Остается найти вероятности каждого и событий и .

События и – независимы, значит и - независимы, а также и - независимы.

Задача 6. Для получения кредита предприятие обратилось к трем банкам. Статистические исследования показали, что вероятности выделения кредита этими банками соответственно равны ; и .

Банки выделяют кредит независимо друг от друга, и если примут решение о его выделении, то в размере: первый банк – 160 млн. р., второй – 40 млн. р., третий – 200 млн. р.

Найти вероятности того, что предприятие получит кредит в размере:

а) 200 млн. р.;

б) не менее 240 млн. р.;

в) в любом размере.

Решение.

Введем события:

– первый банк выделит кредит;

– второй банк выделит кредит;

– третий банк выделит кредит;

– предприятие получит кредит в размере 200 млн. р.;

– предприятие получит кредит в размере не менее 240 млн. р.;

– предприятие получит кредит.

По условию ; ; .

Значит, ;

Задача 7. Три исследователя независимо один от другого производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний прибора, равна 0,1. Для второго и третьего исследователей эта вероятность соответственно равна 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один допустит ошибку.

Решение.

Событие – при измерении хотя бы один исследователь допустит ошибку.

Событие – ый исследователь допустит ошибку ( ).

По условию ; ; .

Вероятности событий, противоположных соответственно равны :

Искомая вероятность равна:

Задача 9. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

Решение.

Вероятность попадания в мишень хотя бы при одном из трех выстрелов (событие ) найдем по формуле

, где q – вероятность промаха.

По условию , . Следовательно, , или

Отсюда,

Искомая вероятность равна:

Задача 10. Сколько раз нужно подбросить два игральных кубика, чтобы вероятность выпадения хотя бы один раз двух шестерок была бы больше ?

Решение.

Событие – выпадение хотя бы один раз двух шестерок.

Событие –выпадение двух шестерок при ом подбрасывании.

Пространство элементарных исходов: _.

Число исходов, благоприятствующих событию :

А число всех исходов

Тогда

Подбрасывание игральных кубиков – независимые испытания, поэтому можно воспользоваться формулой .

По условию . Т.е. или . Из этого неравенства найдем .

Логарифмируя, получим

откуда

Так как натуральное число, то

2.2. Решить задачу

Задача 11. Вероятность того, что будет снег равна 0,6 , а того, что будет дождь равна 0,45. Найти вероятность плохой погоды, если вероятность дождя со снегом равна 0,25.

Решение.

Событие – плохая погода.

Событие – снег.

Событие –дождь.

=

По условию

Задача 12. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров, во втором – 3 белых и 9 черных шаров, в третьем – 6 белых и 6 черных шаров. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые.

Решение.

Событие – три вынутых шара из каждого ящика – белые шары.

Событие – вынут белый шар из го ящика.

Задача 13. На перевозку груза направлено четыре автомобиля. Вероятность нахождения каждой из машин в исправном состоянии равна 0,8. Найти вероятность того, что в работе участвует хотя бы один из выделенных для этого автомобилей.

Решение.

Задача 14. Стрелок попадает в мишень с вероятностью – 0,6. Сколько ему надо сделать выстрелов, чтобы с вероятностью не менее 0,8 можно было утверждать, что он попал хотя бы один раз?

Решение.

Задача 15. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.

Решение.

Задача 16. В марте 10 солнечных дней. Найти вероятность того, что: 1) первые два дня солнечные; 2) первые два дня разная погода.

Решение.