
2. Решение задач на сложение и умножение вероятностей
2.1. Разобрать решение задач, заполнив пропуски |
|
Задача1. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлены 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие ). Решение. 1 способ. Требование – хотя бы один из взятых 3-х учебников окажется в переплете – будет осуществлено, если произойдет любое из следующих несовместных событий: событие – один учебник в переплете, два без переплета; событие – два учебника в переплете, один без переплета; событие – три учебника в переплете. Интересующее нас событие (хотя бы один из взятых учебников в переплете) можно представить в виде суммы этих событий:
По теореме
сложения несовместных событий:
Найдем вероятности
событий
,
,
по
формуле:
2 способ.
События
– «хотя бы один из взятых трех
учебников имеет переплет» и
Вероятность появления события (ни один из взятых учебников не имеет переплета) равна:
Тогда
искомая вероятность:
|
|
Задача 2. На 30 одинаковых жетонах написаны 30 двузначных чисел от 1 до 30. Жетоны помещены в пакет и тщательно перемешаны. Какова вероятность вынуть жетон с номером, кратным 2 или 3(событие )? Решение. Обозначим события:
событие
событие
Интересующее
нас событие
можно представить в виде суммы этих
событий:
События
и
совместны,
значит: Вероятность событий и , по формуле классической вероятности соответственно равны
Т.е.
|
|
Задача 3. В цехе работают 7 мужчин и три женщины. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами. Решение. Введем обозначения событий: событие – первым отобран мужчина; событие – вторым отобран мужчина; событие – третьим отобран мужчина. |
|
Вероятность что, что первым будет отобран мужчина, равна: |
|
Вероятность того, что вторым будет отобран мужчина, при условии, что первым уже был отобран мужчина, равна: |
|
Вероятность того, что третьим будет отобран мужчина, при условии, что уже отобраны двое мужчин, равна:
|
|
Искомая вероятность того, что все три отобранных лица окажутся мужчинами, равна
|
|
Задача 4. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что 2 наудачу выбранные билета окажутся выигрышными. Решение. 1 способ. Событие – первый билет выиграл. Событие – второй билет выиграл.
Вероятность
того, что первый билет выиграл
Вероятность,
что второй билет выиграл, при условии,
что первый выиграл
Вероятность
выигрыша двух билетов:
2 способ. Событие – оба билета выигрышные.
|
|
Задача 5. Для сигнализации об аварии установлено два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор. Решение. Введем обозначения событий: событие – сработает первый сигнализатор; событие – сработает второй сигнализатор;
событие
событие
Из условия
задачи следует, что
Появление
события
равносильно появлению события
Появление
события
равносильно
появлению события
Таким образом, чтобы найти вероятность появления хотя бы одного из событий и , достаточно найти вероятность появления одного, безразлично какого из событий и .
События
и
несовместные,
поэтому
Остается найти вероятности каждого и событий и .
События
и
– независимы, значит
|
|
Задача 6.
Для получения кредита предприятие
обратилось к трем банкам. Статистические
исследования показали, что вероятности
выделения кредита этими банками
соответственно равны
Банки выделяют кредит независимо друг от друга, и если примут решение о его выделении, то в размере: первый банк – 160 млн. р., второй – 40 млн. р., третий – 200 млн. р. Найти вероятности того, что предприятие получит кредит в размере: а) 200 млн. р.; б) не менее 240 млн. р.; в) в любом размере. Решение. Введем события: – первый банк выделит кредит; – второй банк выделит кредит; – третий банк выделит кредит; – предприятие получит кредит в размере 200 млн. р.; – предприятие получит кредит в размере не менее 240 млн. р.; – предприятие получит кредит.
По условию
Значит,
|
|
Задача 7. Три исследователя независимо один от другого производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний прибора, равна 0,1. Для второго и третьего исследователей эта вероятность соответственно равна 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один допустит ошибку. Решение. Событие – при измерении хотя бы один исследователь допустит ошибку.
Событие
По условию
Вероятности
событий, противоположных
Искомая
вероятность равна:
|
|
Задача 9. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле. Решение. Вероятность попадания в мишень хотя бы при одном из трех выстрелов (событие ) найдем по формуле
По условию
Отсюда,
Искомая
вероятность равна:
|
|
Задача 10.
Сколько
раз нужно подбросить два игральных
кубика, чтобы вероятность выпадения
хотя бы один раз двух шестерок была
бы больше
Решение. Событие – выпадение хотя бы один раз двух шестерок.
Событие
Пространство элементарных исходов: .
Число исходов,
благоприятствующих событию
:
А число всех исходов
Тогда
Подбрасывание
игральных кубиков – независимые
испытания, поэтому можно воспользоваться
формулой
По условию
Логарифмируя,
получим
откуда
Так как
|
|
2.2. Решить задачу |
|
Задача 11. Вероятность того, что будет снег равна 0,6 , а того, что будет дождь равна 0,45. Найти вероятность плохой погоды, если вероятность дождя со снегом равна 0,25. Решение. Событие – плохая погода. Событие – снег. Событие –дождь.
По условию
|
|
Задача 12. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров, во втором – 3 белых и 9 черных шаров, в третьем – 6 белых и 6 черных шаров. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые.
Решение. Событие – три вынутых шара из каждого ящика – белые шары.
Событие
|
|
Задача 13. На перевозку груза направлено четыре автомобиля. Вероятность нахождения каждой из машин в исправном состоянии равна 0,8. Найти вероятность того, что в работе участвует хотя бы один из выделенных для этого автомобилей. Решение.
|
|
Задача 14. Стрелок попадает в мишень с вероятностью – 0,6. Сколько ему надо сделать выстрелов, чтобы с вероятностью не менее 0,8 можно было утверждать, что он попал хотя бы один раз? Решение.
|
|
Задача 15. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7. Решение.
|
|
Задача 16. В марте 10 солнечных дней. Найти вероятность того, что: 1) первые два дня солнечные; 2) первые два дня разная погода. Решение.
|