3. Решение задач на геометрическое определение вероятности

3.1. Разобрать решение задач, заполнив пропуски

Задача1. На отрезке единичной длины случайным образом появляется точка. Найти вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка больше _.

Решение.

По условию задачи искомому событию удовлетворяют все точки, появляющиеся на интервале . См. Рис.6.

Его длина . Длина всего отрезка .

З начит, искомая вероятность .

Задача 2. В круг радиуса наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что она не попадет в правильный треугольник, вписанный в этот круг.

Решение.

Мерой множества возможных исходов является площадь круга: .

Мерой множества благоприятных исходов – разность площадей круга и треугольника _.

Площадь треугольника, вписанного в круг, находится по формуле: .

Задача 3. На отрезке наудачу выбраны два числа и . Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам .

Решение.

По условию задачи координаты точки удовлетворяют системе неравенств . Это означает, что точка наудачу выбирается из множества точек квадрата, длина стороны которого равна 2.

Т очки квадрата, координаты которых удовлетворяют неравенствам , принадлежат фигуре, закрашенной на рис.7.

Мерой множества возможных исходов является площадь квадрата: .

Мерой множества благоприятных исходов – площадь закрашенной фигуры: .

Задача 4. На отрезке длины числовой оси наудачу поставлены две точки: и , причем . Найти вероятность того, что длина отрезка окажется меньше, чем . Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Решение.

Координаты точек и должны удовлетворять неравенствам .

Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат.

В этой системе указанным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей заштрихованному прямоугольному треугольнику. Длина отрезка должна быть меньше, чем , т.е. должно иметь место неравенство . Это неравенство выполняется для точек, которые лежат в закрашенной трапеции (рис.8).

М ерой множества возможных исходов является площадь заштрихованного прямоугольного треугольника: .

а мерой множества благоприятных исходов – площадь закрашенной трапеции: .

Задача 5. В шар вписан куб. Точка наудачу зафиксирована в шаре. Найти вероятность того, что точка попадет в куб.

Решение.

Введем обозначения – радиус шара, – ребро куба.

В этом случае мерой множества возможных исходов является объем шара: ,

а мерой множества благоприятных исходов – объем вписанного куба: .

Задача 6. Какова вероятность того, что из трех взятых наудачу отрезков длины не больше можно построить треугольник?

Решение.

Обозначим длины этих отрезков через . Из условия задачи следует, что .

Обозначим через множество точек с координатами для которых выполняются данные неравенства, т. е. – куб с ребром .

Исходя из условия задачи и учитывая введенные обозначения, получается, что эксперимент состоит во взятии наудачу трех отрезков, длины которых . Мы его отождествим с экспериментом, состоящим во взятии точки из куба .

Чтобы построить из этих трех отрезков треугольник, необходимо выполнение условий .

Эти неравенства определяют тело (рис.9), которое получается отбрасыванием от куба трех тетраэдров, отсекаемых плоскостями .

Итак, в нашем случае мерой множества возможных исходов является объем куба с ребром : ,

а мерой множества благоприятных исходов — объем тела : .

, где