Алгебра событий. Классификация событий

1.1. Записать определения следующих понятий:

Испытание (опыт)

- это наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного комплекса условий, который должен каждый раз строго выполняться при повторении данного испытания

Элементарный исход

- это любой простейший (т.е. неделимый в рамках данного опыта) исход испытания

Пространство элементарных исходов ( )

Событие ( )

1.2. Описать пространство элементарных исходов.

а) Опыт: по каналу связи последовательно передано три знака.

Решение.

Используем цифры 0, 1 для обозначения событий: 0 – знак искажен, 1 – знак принят. Тогда пространство элементарных событий запишется в виде и имеет размерность восемь.

б) Опыт: на поверхность стола бросается монета.

Решение.

Результатом эксперимента будем считать координату центра монеты и величину угла поворота монеты.

Тогда пространство элементарных исходов – множество пар , где – точка стола и – угол поворота. Число элементарных исходов такого эксперимента несчетно.

1.3. Из приведенных примеров выделить следующие понятия:

Пример

Понятие

1)

Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет герб.

2)

При бросании игрального кубика выпало четное число очков.

3)

За экзамен студент получил положительную оценку.

Испытание (опыт)

Подбрасывание монеты

Пространство элементарных исходов ( )

_{герб, цифра}

Событие ( )

1.4. Установите соответствие между понятием и его определением:

Список понятий:

1. достоверное событие;

2. невозможное событие;

3. равновозможные события;

4. полная группа событий;

5. случайное событие;

6. элементарное событие;

7. совместные события;

8. несовместные события;

9. зависимые события;

10. независимые события;

11. событие, противоположное данному.

Равновозможные события

- это события, если условия их появления в опыте одинаковы и нет основания считать какое-либо из них более возможным, чем другое.

- это событие, которое при повторении опыта иногда происходит, а иногда нет.

Зависимые события

- это такие события, если наступление одного из них влияет на вероятность появления других.

Элементарное событие

- это событие, состоящее из одного элемента, его нельзя выразить через более простое.

- это такие события, когда наступление одного из событий сопровождается наступлением других в одном и том же испытании.

- это событие, которое не может появиться при испытании.

- это событие, наступающее всякий раз, когда не появляется данное событие.

Несовместные события

- это события, когда появление одного из событий исключает появление другого.

- это событие, которое наступит при каждом испытании.

- это события, если наступление одного из них не влияет на вероятность появления других.

Полная группа событий

- это достоверное событие, которое образуют несколько попарно несовместных событий, то есть если в результате опыта обязательно произойдет одно и только одно из них.

1.5. Из изображенных на рисунке 1указать события:

Дополнить ответ

1) совместные события: _{, , , ,…}

2) несовместные события: _,…

1.6. Для указанного опыта выбрать указанные события (дополнить ответ)

Опыт: брошены два игральных кубика.

События:

- сумма выпавших очков равна 8;

- произведение выпавших очков не больше 36;

- на первом кубике выпавшая цифра четная;

- хотя бы одна из выпавших цифр нечетная;

- сумма выпавших очков равна 50;

- сумма выпавших очков не больше 12;

- произведение выпавших очков равно 1;

- на первом кубике выпавшая цифра нечетная.

- на обоих кубиках четные цифры.

Достоверные

события

Невозможные

события

Противоположные события

Несовместные

события

1.7. Привести пример опыта так, чтобы событие – «Мисс МГТУ - брюнетка» являлось

а) достоверным

б) невозможным

в) случайным

1.8. Назвать противоположные события для следующих событий:

а) - выигрыш в лотерею.

б) - выигрыш в футбольном матче.

1.9. Указать какие события из приведенных опытов являются равновозможными

1. Опыт: выстрел по мишени.

События: – попадание; – промах.

2. Опыт: на калькуляторе случайно набирается двузначное число.

События: – появление четного числа; – появление нечетного числа.

События: – появление простого числа; – появление составного числа.

3. Опыт: выбирается шар из урны, в которой 5 синих и 7 красных шаров;

все шары пронумерованы.

События: – появление синего шара; – появление красного шара;

События: – появление шара с номером 1; – появление шара с номером 9.

1.10. Укажите, какие события образуют полную группу событий в следующих опытах:

1. Опыт – выбор наудачу двух целых чисел.

События: - произведение чисел положительно, - произведение чисел отрицательно, - произведение чисел равно 0.

2. Опыт – сдача типовых расчетов на проверку.

События: - один сдан, - хотя бы один сдан, - ни одного не сдано.

3. Опыт –игра в шахматы.

События: -выигрыш, - проигрыш.

1.11. Записать полную группу событий в опыте.

1. Опыт: Подбрасываются два игральных кубика.

Решение.

Полную группу событий образуют равновозможные элементарные исходы , представленные в таблице. Элементарный исход означает, что на первом кубике выпало очков, а на втором очков.

б) Опыт: сумма двух наудачу выбранных цифр равна 12.

Решение.

2.1. Запишите, как язык теории вероятностей трактует теоретико-множественные операции (дополнить таблицу)

Пример 1:

Два стрелка стреляют в мишень одновременно, событие состоит в том, что в мишень попадает 1-й стрелок, а событие - в том, что в мишень попадает 2-й.

Пример 2:

Студенту вручают диплом, событие состоит в том, что диплом с отличием – «красный», а событие - в том, что диплом – «синий».

Обозначение операция

Графическая интерпретация

для совместных событий

Смысл операции для примера 1

Графическая интерпретация

для несовместных событий

Смысл операции для примера 2

Или

Рис.2

Событие означает, что мишень поражена, то есть, что в мишень попал хотя бы один из стрелков.

или

Рис.3

Событие означает, что мишень поражена, причем в мишень попали оба стрелка

или

Рис.4

Событие заключается в том, что первый стрелок попал в мишень, а второй промахнулся.

2.2. Дайте иллюстрацию для указанных событий

Если , , то каковы выводы относительно событий и ?

2.3. Что представляют собой события?

Победитель конкурса награждается медалью ( событие - ), премией (событие - ), призом (событие - )

а) Событие состоит в награждении победителя …

б) Событие состоит в награждении победителя …

в) Событие состоит в награждении победителя …

2.4. Представить событие с помощью операций через события и

Решение.

Схема в течение времени t будет работать безотказно только тогда, когда оба элемента не откажут, т.е. одновременно будут работать в течение времени t:

.

Рис.5

Релейная схема (рис.5) состоит из двух элементов.

Событие - схема в течение времени t работает безотказно.

Событие - 1-ый элемент работает безотказно в течение времени t.

Событие - 1-ый элемент работает безотказно в течение времени t.

Студент сдает 3 экзамена. Пусть событие состоит в том, что ый экзамен сдан.

Описать событие , заключающееся в том, что только один экзамен сдан.

В торговый зал входят 4 человека. Пусть событие состоит в том, что ый человек сделает покупку.

Описать событие , заключающееся в том, что не более двух человек сделают покупку.

2.4. Указать в чем состоят события:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; e) .

При проверке документа можно обнаружить четыре нарушения в его оформлении. Рассматриваются события:

обнаружено ровно одно нарушение;

обнаружено хотя бы одно нарушение;

обнаружено не менее двух нарушений;

обнаружено ровно два нарушения;

обнаружено ровно 3 нарушения;

обнаружены все нарушения.

Решение.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

2.5. Описать события: , , , , , , .

Имеется 4 изделия, каждое из которых может быть либо бракованным, либо хорошим. Введем события: - хотя бы одно изделие бракованное; - бракованных не менее двух изделий.

Решение.