6.9.4. Атом водорода в квантовой механике.

Решение задачи об энергетических уровнях электрона в атоме водорода сводится к решению задачи о движении электрона в кулоновском поле ядра.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром определяется выражением

.

Следовательно, состояние электрона в атоме водорода описывается функцией , удовлетворяющей уравнению Шредингера в виде

.

Мы уже указывали, что подобное дифференциальное уравнение имеет решение только при определенных значениях параметра Е. Как показывают расчеты

.

Легко заметить, что полученное решение совпадает со значением полученным Бором, но Бор вынужден был вводить дополнительные гипотезы, а в квантовой механике это результат самой теории, вытекающий из решения уравнения Шредингера.

Задачи к зачету

85. Электрон движется со скоростью . Определить длину волны де Бройля для электрона, учитывая зависимость массы от скорости.

86. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы длина волны де Бройля была равна 0,1 нм?

87. Найти длину волны де Бройля протона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 1 МВ.

88. Предполагая, что неопределенность координаты движущейся частицы равна дебройлеровской длине волны, определить относительную неопределенность импульса частицы.

89. Электрон находится в потенциальной яме шириной в возбужденном состоянии . Определить в каких точках интервала плотность вероятности нахождения частицы минимальна?

90. Электрон находится в потенциальной яме шириной в возбужденном состоянии . Определить в каких точках интервала плотность вероятности нахождения частицы максимальна?

91. Электрон в одномерной потенциальной яме шириной находится в возбужденном состоянии . Определить вероятность обнаружения частицы в области .

92. Электрон в одномерной потенциальной яме шириной находится в возбужденном состоянии . Определить вероятность обнаружения частицы в области .

10.4. Элементы физики атомного ядра.

1.10.4. Открытие нейтрона. Строение атомного ядра.

В 1920 году Э.Резерфорд в камере Вильсона наблюдал первую ядерную реакцию

10.1

в результате которой образовывался протон.

В 1930 году В.Боде и Г. Беккер облучая ряд элементов обнаружили, что при облучении бериллия - частицами возникает излучение большой проникающей способности, но не оставляющей следов в камере Вильсона. Так как большой проникающей способностью могут обладать только нейтральные частицы, то было высказано предположение о том, что это кванты электромагнитного излучения. Однако измерение энергии - квантов проведенное Ирен и Фредериком Жолио-Кюри показало, что они должны были обладать невероятной энергией, порядка 50 МэВ, вместо расчетных 7 Мэв.

В 1932 году Д.Чедвик вначале предположил, а затем и доказал, что при бомбардировке бериллия образуются нейтральные частицы, которые он назвал нейтронами. Таким образом, при бомбардировке бериллия протекает ядерная реакция

. 10.2

По своим характеристикам (кроме электрического заряда) нейтрон подобен протону и поэтому для этих частиц используется общее название нуклон.

Открытие нейтрона позволило Д.И.Иваненко и Гейзенбергу высказать гипотезу о строении атомного ядра. Так как заряд ядра равен ( - атомный номер элемента), то в его состав должно входить протонов и число нейтронов равное (А – массовое число, число нуклонов в ядре).

Поскольку нейтроны не участвуют в электромагнитном взаимодействии, а протоны отталкиваются друг от друга, то необходимо было ответить на вопрос о стабильности ядра.

В ядре между нуклонами действуют особые, специфические силы, называемые ядерными силами. Закон ядерных сил не установлен, но установлены их основные свойства:

- ядерные силы являются силами притяжения;

- эти силы являются короткодействующими – радиус действия ;

- ядерным силам свойственна зарядовая независимость (действуют между протонами и нейтронами);

- им свойственно насыщение, т.е. каждая частица может взаимодействовать с определенным числом соседей;

- ядерные силы не являются центральными.

Сложный характер ядерных сил, трудность решения уравнений движения нуклонов в ядре не позволяют разработать единую теорию атомного ядра. И поэтому в настоящее время прибегают к рассмотрению приближенных моделей ядра. Наиболее известны из них капельная и оболочечная.

1. Капельная модель (Я.И.Френкель, Н.Бор). Эта модель основана на аналогии между поведением нуклонов в ядре и молекул в капельке жидкости. Силы, действующие между молекулами в жидкости (силы поверхностного натяжения) и ядерные силы обладают сходными свойствами (не являются центральными, для них характерно насыщение). Объем капли и ядра зависит от числа частиц. Плотность капли жидкости и плотность ядра остаются величинами постоянными.

В рамках этой модели удалось получить полуэмпирическую формулу для энергии связи ядра и объяснить механизм деления ядер.

2. Оболочечная модель. В данной модели нуклоны ядра располагаются по оболочкам (подобно электронам в атоме) с дискретными значениями энергии. Устойчивость ядра зависит от степени заполнения оболочек. Ядра с полностью заполненными оболочками наиболее устойчивы. Магические числа – 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Ядра, содержащие это число протонов или нейтронов, наиболее устойчивы ( ). В рамках этой модели удалось объяснить устойчивость ядер и периодичность их свойств.