5.9.4. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.
Пусть частица находится в одномерной
прямоугольной потенциальной яме
бесконечной глубины шириной
и имеет возможность двигаться вдоль
оси Х. Тогда потенциальная энергия
частицы будет иметь значение
.
9.8
В данном одномерном случае уравнение Шредингера примет вид
.
9.9
По условию частица не может покинуть
ямы и поэтому
,
т.е. вероятность обнаружения частицы
за пределами ямы равна нулю. В пределах
ямы
и поэтому уравнение Шредингера можно
преобразовать к виду
или
,
9.10
где
.
Решение этого уравнения ищется в виде
.
Из условия
получим:
и тогда
.
Условие
выполняется, если
,
где
.
Отсюда для собственных значений энергии
получаются значения
,
9.11
т.е. энергия частицы находящейся в потенциальной яме не может принимать произвольные значения, а квантуется.
Теперь мы можем получить волновую функцию частицы в потенциальной яме
.
9.12
Из условия нормировки
можно получить, что
и, следовательно, волновая функция
частицы имеет вид
.
9.13
Из выражения следует, что энергетический интервал между двумя состояниями
.
В качестве примера рассмотрим два
случая. Свободные электроны в металле,
ширина потенциальной ямы
и тогда
,
т.е. энергетические уровни расположены столь густо, что можно говорить о сплошном спектре.
Для электрона в атоме ширина потенциальной
ямы имеет величину порядка
и тогда для
получим значение
т.е. явно квантуется.
Квантово механическое решение задачи
о движении частицы в потенциальной яме,
приводит к тому, что она не может иметь
энергию меньшую, чем
.
Графики собственных функций, соответствующие
различным значениям
,
приведены на рисунке. Слева изображена
плотность вероятности обнаружения
частицы в той или иной части ямы. Из
рисунка следует, что в состоянии с
,
вероятность обнаружить частицу в центре
ямы равна нулю, в то время как одинаково
часто мы можем обнаружить частицу в
одной и половинок ямы.
5.9.4. Гармонический осциллятор в квантовой механике.
Потенциальная энергия гармонического
осциллятора определяется выражением
.
Эта зависимость имеет вид параболы,
т.е. «потенциальная яма» в данном случае
является параболической.
Гармонический осциллятор в классической
механике описывается уравнением
и, следовательно, его энергия может
принимать любые значения, те. Спектр
является сплошным.
В квантовой механике осциллятор описывается уравнением Шредингера
,
где Е – полная энергия осциллятора. В
теории дифференциальных уравнений
доказывается, что это уравнение имеет
решение только при собственных значениях
энергии
.
Из этого выражения следует, что энергия
квантового осциллятора квантуется,
т.е. может принимать только дискретные
значения.