Поток вектора напряженности электростатического поля.
Теорема Гаусса.
Чтобы
с помощью линий напряженности можно
было характеризовать не только,
направление, но и величину вектора
напряженности электрического поля,
условились проводить их с определенной
густотой: число линий, пронизывающих
единицу поверхности, перпендикулярной
к линиям напряженности, должно быть
равно модулю вектора напряженности.
Тогда число линий напряженности,
пронизывающих элементарную площадку
,
нормаль к которой образует угол
с вектором напряженности Е, будет равно
.
Величина
называется потоком вектора напряженности
через площадку
(рис. 5). Для произвольной поверхности S
поток вектора напряженности
определяется по формуле
,
1.7
где интегрирование должно быть произведено по всей поверхности S.
П
оток
вектора напряженности величина скалярная.
Знак потока зависит не только от
электрического поля, но и выбора
положительного направления нормали
к поверхности. Как правило, за положительное
направление нормали принимается
направление внешней нормали к поверхности.
Расчет электрических полей значительно упрощается, если использовать теорему Гаусса, теорему, определяющую поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность. Она была установлена М.В.Остроградским в виде некоторой общей математической теоремы и Гауссом – применительно к случаю электрического поля. Докажем теорему вначале для точечного заряда q.
Окружим точечный заряд сферой радиуса R (рис. 6) и тогда для потока вектора напряженности, с учетом формул 1.7 и 1.5 получим:
.
1.8
Полученный
результат будет справедлив и для любой
другой замкнутой поверхности. Если
поверхность не охватывает зарядов, то
.
В этом случае линии напряженности и
входят, и выходят из поверхности.
В общем случае, когда замкнутая поверхность охватывает N электрических зарядов
.
1.9
Формула 1.9 выражает теорему Гаусса – поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на электрическую постоянную.
Используя теорему Гаусса можно рассчитать напряженность электрического поля во многих случаях.
Рассмотрим некоторые примеры.
Равномерно заряженная плоскость.
Пусть
имеется бесконечная плоскость, равномерно
заряженная с поверхностной плотностью
заряда
.
Очевидно, что вектор напряженности
в этом случае, будет перпендикулярен
плоскости. В противном случае, появится
составляющая вектора напряженности
(рис. 7б), направленная параллельно
плоскости и приводящая к изменению
распределения заряда на плоскости, что
противоречит условию.
В этом случае в качестве замкнутой поверхности удобно выбрать прямой цилиндр, перпендикулярный к заряженной плоскости, ограниченный двумя плоскими основаниями, перпендикулярными к линиям напряженности и расположенными по обе стороны плоскости (рис.7а).
Так
как вектор напряженности не пронизывает
боковой поверхности цилиндра, то
,
но по теореме Гаусса
.
Из равенства правых частей этих выражений
следует, что равномерно заряженная
плоскость создает однородное электрическое
поле с напряженностью
.
1.10
Поле у поверхности заряженного проводника.
У
читывая,
что вектор напряженности поля
перпендикулярен поверхности проводника
(рис.8) и поле внутри проводника отсутствует,
можно получить:
или
.
1.11
Величина D получила название электрического смещения, так как у поверхности заряженного проводника она равна поверхностной плотности заряда , т.е. величине заряда, сместившегося внутри проводника, на единице площади поверхности.
Как видно из полученного выражения напряженность электрического поля в этом случае не зависит от формы проводника и распределения зарядов на нем.
Поле двух заряженных пластин.
Рассмотрим
электрическое поле создаваемое двумя
равномерно заряженными пластинами. При
появлении на одной из пластин заряда с
поверхностной плотностью
,
на второй пластине появляется заряд
противоположного знака с поверхностной
плотностью
(рис. 9). Эти заряды под действием силы
взаимного притяжения будут сосредоточены
на внутренних поверхностях пластин.
Заряженные плоскости каждой пластины
создают по обе стороны от себя э
лектрическое
поле с напряженностью, выражаемой
формулой
.
Вне пластин эти напряженности направлены
в разные стороны и их сумма равна нулю
(рис. 9). Между пластинами, напротив, эти
поля направлены в одну сторону и,
складываясь, дают
.
1.12
Поле равномерно заряженной нити.
Рассмотрим
электрическое поле, создаваемое
равномерно заряженной с линейной
плотностью заряда
нитью. В качестве замкнутой поверхности
в этом случае удобно взять цилиндрическую
поверхность, ось которой совпадает с
нитью (рис. 10). Очевидно, что и в этом
случае вектор напряженности перпендикулярен
нити и будет пронизывать боковую
поверхность цилиндра. Следовательно,
поток вектора напряженности
,
но по теореме Гаусса
.
Из равенства правых частей этих выражений
следует, что напряженность электрического
поля равномерно заряженной нити
определяется выражением
.
1.13