2.11.3. Свободные затухающие колебания.

Всякий реальный колебательный контур обладает сопротивлением. Это приводит к тому, что часть энергии, запасенная в контуре, теряется на нагревание проводников и поэтому свободные колебания являются затухающими. Закон Ома для неоднородного участка цепи в этом случае будет иметь вид:

. 11.9

Разделив 11.9, на L и заменив и , получим уравнение:

. 11.10

Учтя 11.5 и введя обозначение

, 11.11

уравнению 11.10 можно придать вид:

. 11.12

При условии, что , решение этого уравнения имеет вид:

, 11.13

где

.

Выражение 11.13 описывает гармонические колебания с частотой , амплитуда которых не остается постоянной, а уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону (рис.56). Показатель называется коэффициентом затухания.

Найдем промежуток времени , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в «е» раз.

Отсюда следует, что , т.е. коэффициент затухания равен величине обратной промежутку времени , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в «е» раз. Этот промежуток времени получил название времени релаксации.

Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания . Логарифмическим декрементом затухания называется натуральный логарифм отношения двух соседних амплитуд, отстоящих друг от друга на один период (рис. 56):

. 11.14

Легко показать, что логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний , совершаемых за время , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в «е» раз.

. 11.15

Гораздо чаще качество колебательного контура характеризуют его добротностью Q, которая определяется по формуле

11.16

и характеризует потери энергии в системе за одно полное колебание.

Так как энергия колебания пропорциональна квадрату амплитуды, то для затухающих колебаний будем иметь . Дифференцируя данное выражение можно найти скорость изменения энергии системы

.

Если затухание в системе достаточно мало, то изменение энергии системы за время равное периоду колебания можно найти по формуле . Приняв во внимание выражения 11.14 и 11.16, придем к соотношению

. 11.17

Из выражения 11.17 следует, что при слабом затухании колебаний добротность, с точностью до множителя , равна отношению энергии запасенной в системе в данный момент времени, к убыли этой энергии за одно полное колебание.

Из формулы 11.16 с учетом 11.14 следует, что

.

Если , то и тогда

. 11.18

Если условие не выполняется, то вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора.

3.11.3. Вынужденные колебания.

Ч тобы вызвать вынужденные колебания, нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие. В случае электромагнитных колебаний это можно осуществить, если включить последовательно с элементами контура ЭДС, которая изменяется по гармоническому закону (рис. 57).

Закон Ома для неоднородного участка цепи в этом случае запишется в виде:

. 11.19

Переходя от тока I к заряду q и используя подстановки 11.5 и 11.11, получим

. 11.20

Решение этого неоднородного дифференциального уравнения надо искать в виде суммы двух слагаемых:

,

где

, . 11.21

П ервое слагаемое описывает поведение системы на начальном этапе (установление колебаний) и при достаточно большом t им можно пренебречь. Следовательно, второе решение описывает установившиеся вынужденные колебания (см. рис. 58).

Из формулы 11.21 следует, что амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты внешнего воздействия . Легко показать, что резонансная частота будет определяться выражением:

и в случае малого затухания можно считать, что .

При резонансе напряжение на конденсаторе будет равно напряжению на индуктивности и равно:

,

т.е. будет превышать приложенное напряжение в Q раз.

Мы рассмотрели вынужденные колебания, возникающие при последовательном включении источника внешнего напряжения. Очевидно, что вынужденные колебания можно осуществить, включив источник тока параллельно элементам контура. Резонансная частота в этом случае также будет равна собственной частоте колебаний.