Тема 11.3. Гармонический осциллятор (электрические системы)
1.11.3. Свободные электромагнитные колебания. Формула Томсона.
В механике мы рассматривали систему (груз, подвешенный к пружине) способную совершать гармонические колебания. Когда груз находится в крайних положениях, его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия максимальна. При прохождении грузом положения равновесия, напротив, кинетическая энергия максимальна, а потенциальная энергия равна нулю. Поэтому можно сказать, что механическое колебание есть периодическое превращение энергии системы из кинетической в потенциальную и наоборот.
А
налогичные
процессы мы имеем и при электромагнитных
колебаниях. Электромагнитные колебания,
как и механические, могут возникать
только в определенных системах. Простейшей
системой, в которой могут возникать
электромагнитные колебания является
колебательный контур. Колебательный
контур – это электрическая цепь,
состоящая из последовательно соединенных
катушки индуктивности L,
конденсатора С и активного сопротивления
R (рис. 55). Различают
линейные и нелинейные контура.
В линейных контурах его параметры L,
C, R не зависят
от интенсивности колебаний и период
колебаний не зависит от амплитуды
(изохронность колебаний). В нелинейных
контурах, например, при наличии катушки
с ферромагнитным сердечником, изохронность
не соблюдается.
Если при разомкнутой
цепи зарядить конденсатор, то он будет
обладать энергией
.
При замыкании заряженного конденсатора
на катушку индуктивности в цепи возникает
электрический ток и заряд конденсатора
начнет уменьшаться. Через четверть
периода заряд конденсатора станет
равным нулю, но сила тока в цепи достигает
максимального значения и магнитное
поле в катушке будет обладать энергией
.
Затем ток в цепи начнет уменьшаться,
но возникающая при этом ЭДС самоиндукции
будет поддерживать уменьшающийся ток,
что приводит к перезарядке конденсатора
и образованию энергии электрического
поля
.
Если сопротивление контура R равно нулю (идеальный контур), то указанный процесс периодического превращения энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно будет продолжаться неограниченно долго, и мы получим незатухающие электромагнитные колебания.
Из сопоставления
электромагнитных и механических
колебаний следует, что энергия
электрического поля
аналогична потенциальной энергии
,
а энергия магнитного поля
аналогична кинетической энергии
.
Из этой аналогии следует, что индуктивность
L играет роль массы m,
величина обратная емкости
играет роль коэффициента жесткости k,
заряду q соответствует
смещение х, силе тока
,
скорость
.
Докажем, что эта аналогия распространяется и на описывающие их уравнения.
Так как сопротивление контура равно нулю, то закон Ома для неоднородного участка цепи запишется в виде:
.
11.1
Учитывая, что
,
11.2
получим:
.
11.3
Разделив 11.3 на L
и учитывая, что
получим уравнение
.
11.4
Если ввести обозначение
11.5
уравнение 11.4 примет вид:
.
11.6
Уравнение 11.5 аналогично уравнению, описывающему механические колебания груза на пружине. Решением этого однородного дифференциального уравнения является функция
.
11.7
Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой определяемой выражением 11.5. Эта частота называется собственной частотой колебаний контура. Для периода колебаний в колебательном контуре получается формула
,
11.8
называемая формулой Томсона.