3.9.3. Полная система уравнений Максвелла для электромагнитного поля.

Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Эта теория не только объяснила все известные к этому времени экспериментальные факты, но и предсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилось в последствии.

Основу этой теории составляют уравнения Максвелла, которые в электродинамике играют туже роль, что и законы Ньютона в механике, или основные начала в термодинамике.

Полная система уравнений Максвелла в интегральной форме:

9.13

Величины, входящие в эти уравнения не являются независимыми и между ними существует следующая связь:

,

где - соответственно электрическая и магнитная постоянные, - диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества, - удельная проводимость вещества.

Из уравнений Максвелла вытекает, что электрические поля могут создаваться либо электрическими зарядами, либо изменяющимся во времени магнитным полем. Источником магнитного поля могут быть либо движущиеся электрические заряды (ток), либо переменное электрическое поле.

Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрических и магнитных полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, а магнитных зарядов нет.

Используя теоремы Остроградского-Гаусса и Стокса можно представить полную систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме.

9.14

Если заряды и токи в пространстве распределены непрерывно, то обе формы уравнений Максвелла эквивалентны. В случае, когда в среде имеются поверхности разрыва, т.е. поверхности, на которых свойства среды изменяются скачкообразно, то интегральная форма является более общей.

Для стационарных полей (не изменяющихся во времени) уравнения принимают вид:

и в интегральной форме

В этом случае электрические и магнитные поля оказываются независимыми, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поля.

Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным полем, т.е. электрические и магнитные поля неразрывно связаны друг с другом – они образуют единое электромагнитное поле.

Теория Максвелла является макроскопической, так как рассматривает поля создаваемые макроскопическими токами и зарядами. Поэтому эта теория не могла вскрыть внутреннего механизма явлений, которые происходят в среде и приводят к возникновению электромагнитного поля. Дальнейшим развитием теории Максвелла стала электронная теория Лоренца.

Одним из важнейших выводов теории Максвелла явилось предсказание существования электромагнитных волн – изменяющегося электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью.

Тема 10.3. Электромагнитные волны

1.10.3. Образование свободной электромагнитной волны.

П редположим, что в некоторой точке О бесконечной непроводящей среды возникает электрическое поле . Так как в среде, электрических зарядов поддерживающих это поле нет, то оно будет исчезать. Но убывающее поле , согласно теории Максвелла, вызывает появление магнитного поля . Но в среде нет постоянных токов, поддерживающих это поле, и оно будет исчезать, и вызывать появление электрического поля . Электрическое поле уничтожит поле в точке О, но проявится в соседней точке 1. Исчезая в точке 1 электрическое поле , вызовет появление магнитного поля , которое будет направлено, так же как и поле . Поэтому оно уничтожит поле в точке 1, но проявится в более удаленной точке 2. Исчезая, оно вызовет появление поля , которое уничтожит поле в точке 2, но проявится в более удаленной точке 3 и т.д. Таким образом, вместо первоначального поля мы получили взаимосвязанные электрическое и магнитное поля, распространяющиеся в пространстве, т.е. электромагнитную волну. При этом вектора взаимно перпендикулярны и перпендикулярны скорости распространения волны . Векторы образуют право винтовую систему (рис. 52).

Докажем теперь, что вектора удовлетворяют волновому уравнению вида

. 10.1

Так в рассматриваемом случае векторы зависят только от одной координаты и времени, то уравнения Максвелла можно записать в виде:

. 10.2

Исключим из уравнений 10.2 напряженность магнитного поля . Для этого умножим первое уравнение на и продифференцируем его один раз по времени и получим:

. 10.3

Второе уравнение продифференцируем один раз по координате «х»:

. 10.4

Из равенства правых частей уравнений 10.3 и 10.4 следует, что

. 10.5

Т очно такое же уравнение можно получить и для вектора , если из уравнений 10.2 исключить напряженность электрического поля . Но уравнение 10.5 есть волновое уравнение вида 10.1. Отсюда следует, что электрическое и магнитное поле распространяются в пространстве в виде электромагнитной волны. Скорость распространения волны в вакууме

,

а в среде

. 10.6

Можно показать, что в распространяющейся электромагнитной волне векторы пропорциональны друг другу, т.е.

. 10.7

Из уравнения 10.7 следует, векторы одновременно достигают максимума и одновременно обращаются в нуль, т.е. колеблются в одинаковой фазе (рис. 53).